Градиент. Производная по направлению

Говорят, что в двумерной области D xOy задано скалярное поле, если в каждой точке M(x,y) Î D задана скалярная функция координат точки:

U(M) = U(x,y).

Пример: скалярное поле температур T(x,y) в области D.

Линии уровня скалярного поля – это такие линии, на каждой из которых функция U(x,y) сохраняет постоянное значение.

Уравнения линий уровня скалярного поля: U (x, y) = const.

Геометрически линии уровня получаются, если поверхность z = U(x,y) пересекать горизонтальными плоскостями z = С и проектировать линии пересечения на плоскость xOy.

Градиентом скалярного поля U (x, y) в фиксированной точке называется вектор, проекции которого на оси координат совпадают с частными производными функции, вычисленными в точке М₀:

, (7)

где векторы – это орты координатных осей.

Вектор градиента направлен перпендикулярно касательной к линии уровня, проходящей через точку М₀. Направление градиента указывает направление наибольшего роста функции U(x,y) в точке М ₀.

Отложим от фиксированной точки M ₀(x ₀, y ₀) некоторый вектор .

Скорость изменения скалярного поля U(x,y) в направлении вектора характеризует величина , называемая производной по направлению.

Если в прямоугольной системе координат xОy вектор имеет направляющие косинусы cos a иcos b, то производная функции U(x,y) по направлению вектора в точке М ₀ – число – можно найти по формуле:

, (8)

Напомним формулы для вычисления направляющих косинусов вектора :

, где модуль вектора: .

Аналогично определяют скалярное поле U(M) в трехмерной области V:

U(M) = U(x,y,z), . Поверхности уровня скалярного поля – это такие поверхности, на каждой из которых функция U(x,y,z) сохраняет постоянное значение. Уравнения поверхностей уровня скалярного поля: U(x,y,z) = const.