П.6. Производная сложной ФНП. Полная производная

Пусть функция z= f (x, y, t) – функция трех переменных x, y и t, причем x и y, в свою очередь, являются функциями независимой переменной t, тогда – это сложная функция одной переменной t, а x и y – промежуточные переменные.

Полной производной по переменной t сложной ФНП называется её производная , вычисленная как производная функции одной переменной t в предположении, что переменные x и y также являются функциями от t, то есть при x = x (t) и y = y (t).

Полная производная вычисляется по формуле:

. (4)

Здесь – это полная производная функции z по переменной t при условии, что все другие переменные зависят от t; – это частная производная функции z по переменной t при условии, что у функции есть другие независимые переменные, кроме t. При нахождении зависимость переменных x, y от t не учитывается.

В полученный ответ следует подставить функции x = x (t) и y = y (t), чтобы выразить полную производную через независимую переменную t.