double arrow

XX. п.4. Точечные оценки

Большинство случайных величин имеют распределения, зависящие от одного или нескольких параметров. Так, например, нормальное распределение зависит от параметров и .

Выборочная характеристика, используемая в качестве приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности, называется статистической точечной оценкой этого параметра. Статистическая оценка неизвестных параметров теоретического распределения генеральной совокупности (или просто параметров генеральной совокупности) – одна из основных задач математической статистики.

Обозначим через некоторый неизвестный параметр генеральной совокупности, а через – точечную оценку этого параметра. Оценка есть функция от выборки объема из независимых случайных величин , каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и генеральная совокупность. Поэтому оценка , как функция случайных величин, также является случайной величиной, в отличие от оцениваемого параметра , который является величиной неслучайной, детерминированной.

Оценка для параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. . В противном случае оценка называется смещенной.

Несмещенность – свойство оценок при фиксированном . Оно означает отсутствие ошибки "в среднем", т.е. при систематическом использовании данной оценки.

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся точечные оценки параметров генеральной совокупности.




1. Выборочная средняя есть несмещенная оценка для генеральной средней , причем , где – объем выборки, – генеральная дисперсия признака.

2. Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии .

3. Исправленная дисперсия , вычисляемая по формуле

(17)

или

, (18)

является несмещенной оценкой для генеральной дисперсии .

Разница между и заметна при небольшом числе наблюдений . При получим, что , т.е. в качестве оценки вполне можно использовать выборочную дисперсию .






Сейчас читают про: