2015-02-04
1359
Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или о параметрах неизвестного распределения генеральной совокупности.
Не располагая сведениями обо всей генеральной совокупности, высказанную гипотезу сопоставляют по определенным правилам с выборочными данными и делают вывод о том, можно принять гипотезу или нет. Эта процедура сопоставления называется проверкой гипотезы.
Рассмотрим этапы проверки гипотезы и используемые при этом понятия.
1. Располагая выборочными данными и руководствуясь конкретными условиями рассматриваемой задачи, формулируют гипотезу 
, которую называют основной или нулевой, и гипотезу 
, конкурирующую с гипотезой . Гипотезу называют также альтернативной, она является логическим отрицанием гипотезы 
. Выбор тех или иных нулевых или альтернативных гипотез определяется решаемыми исследователем прикладными задачами.
2. Задается вероятность 
, которую называют уровнем значимости.
Уровень значимости определяет вероятность так называемой ошибки первого рода, которая совершается при отвержении гипотезы , т.е. принимается конкурирующая гипотеза , тогда как на самом деле гипотеза верна. Вероятность задается заранее малым числом: 0,1; 0,05, 0,001 и т.д.
3. Выбирается статистический критерий проверки гипотезы – 
. Статический критерий – это случайная величина, закон распределения которой при условии справедливости проверяемой гипотезы известен.
После выбора критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при котором нулевая гипотеза отвергается – критическая область 
, а другое содержит те значения критерия, при которых гипотеза принимается – область принятия гипотезы. Критическими точками 
называются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области. Правосторонней (левосторонней)называют критическую область, определяемую неравенством 
(
). Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами 
.
4. По результатам эксперимента находят эмпирическое (наблюдаемое) значение статистического критерия . Если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают в пользу конкурирующей гипотезы; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то нулевую гипотезу принимают.
5. Результат проверки гипотезы формулируется следующим образом: гипотеза проверена по критерию на уровне значимости и принята (не противоречит имеющимся экспериментальным данным) или отвергнута.
Пример.
Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями по малым выборкам (
)
Пусть имеются две нормально распределенные генеральные совокупности 
и 
, характеризуемые генеральными средними 
и 
. Для проверки гипотезы из этих совокупностей берутся две независимые выборки объемов 
и 
, по которым находят выборочные средние 
, 
и исправленные выборочные дисперсии 
, 
.
1. Нулевая гипотеза 
: 
.
Альтернативная гипотеза 
: а) 
(
);
б) 
.
2. Уровень значимости .
3. Статистический критерий: 
(22)
Критерий 
имеет распределение Стьюдента с 
степенями свободы.
а) При альтернативной гипотезе () критическая область является односторонней и определяется неравенством 
. Критическая точка определяется по таблице значений 
распределения Стьюдента, где , 
.
б) При альтернативной гипотезе критическая область является двусторонней и определяется неравенством 
. Критическая точка определяется по таблице значений распределения Стьюдента, где , 
.
4. По формуле (22) определяем эмпирическое значение -критерия.
Гипотеза принимается, если: а) 
;
б) 
.
5. Делается вывод о результатах проверки гипотезы .
Задача 7. Массовую долю (%) оксида меди в минерале определили методом иодометрии и методом комплексометрии. По первому методу получили результаты: 38,20; 38,00; 37,66, а по второму: 37,70; 37,65; 37,55. Проверить, различаются ли средние результаты данных методов на уровне значимости 
, если известно, что результаты измерений имеют нормальный закон распределения с неизвестными, но равными дисперсиями.
Решение.
Вычисляем для каждого метода числовые характеристики, учитывая, что объем каждой выборки равен 
:
· выборочные средние значения по формуле (14):
=37,63;
· исправленные выборочные дисперсии по формуле (18):
, 
=0,07453;
=0,00583.
Теперь проверим гипотезу о равенстве средних двух совокупностей.
1. Нулевая гипотеза: : .
2. Уровень значимости .
3. Проверку гипотезы будем проводить с помощью -критерия, так как выборки маленькие и по условию дисперсии генеральных совокупностей неизвестны, но равны. По таблице значений распределения Стьюдента при 
и числе степеней свободы 
находим критическое значение: 
.
4. Рассчитаем эмпирическое значение -критерия, используя формулу (22):
.
Сравним полученное значение с табличным значением 
. Так как 
, то гипотеза принимается.
5. Гипотеза о равенстве средних значений двух методов проверена на уровне значимости с помощью -критерия и принята. Следовательно, результаты обоих методов отражают истинное содержание 
в минерале.
Ответ: гипотеза о равенстве средних проверена на уровне значимости с помощью -критерия и принята.
