Аппроксимации биноминального распределения

Связь с бета распределением

Бета распределение — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом

Обозначение

Область значений:

Плотность вероятности:

a,β > 0 произвольные фиксированные параметры, и

- бета функция

Функции биномиального и бета распределений связаны следующим соотношением: b(m | n,p) = B(1-p | n-m, m+1)

Вычисление P_n (k) при больших значениях n затруднительно. Поэтому для их приближённого вычисления можно использовать нормальную и пуассоновскую аппроксимации.

Связь с нормальным распределением

Если n большое, то в силу центральной предельной теоремы, b(m | n,p) ≈ N(M(x),D(x)), где N – нормальное распределение. Нормальное распределение относится к числу наиболее распространенных и важных. Оно часто используется для приближенного описания многих случайных явлений, когда интересующий нас результат складывается из большого количества независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся.

Связь с пуассоновским распределением

Если n большое, а λ — фиксированное число, то, b(m | n,p) ≈ P(l). где P(λ) — распределение Пуассона с параметром λ. Распределение Пуассона играет важную роль для описания "редких" событий в физике, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. – там, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т.п.).

На практике пуассоновская аппроксимация хорошо работает, когда вероятность успеха p мала, а l = np принимает значение не более 10. В противном случае лучше работает нормальная аппроксимация.

¾ Кривая плотности нормального распределения

Вероятности биномиального распределения (¾) изображаются прямоугольными столбиками с единичными основаниями и высотами, равными соответствующим вероятностям. Аналогично изображается пуассоновская аппроксимация (¾).