Характеристики случайных величин

Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Математическое ожидание имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в точку а_i массу p_i (для дискретного распределения), или «размазав» ее с плотностью f_ξ(x) (для абсолютно непрерывного распределения), то точка M(x) есть координата «центра тяжести» прямой.

Дисперсия

Дисперсия случайной величины— мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания.

Физический смысл в том, что если говорить о распределении случайной величины, как о распределении единичной массы по невесомому стержню, то дисперсия есть в точности момент инерции этого стержня, закрепленного в центре тяжести.

Среднеквадратическое отклонение

В теории вероятностей и статистике наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Производящая функция

Нахождение важнейших числовых характеристик д.с.в. С целыми, неотрицательными значениями удобно производить с помощью производящих функций. Понятие производящей функции нам потребуется при выводке числовых характеристик биномиального распределения.

Пусть д.с.в. Х принемает значения 0,1,2,..,k с вероятностями p₀,p_1,p₂,..,p_k=P(x =k)

Производящей функцией для д.с.в Х называется функция вида:

где z — произвольный параметр, 0 < z ≤ 1.

Отметим, что коэффициентами степенного ряда являются вероятности закона распределения д.с.в. Х.

Если мы продифференцируем по z производную функцию, получим следующее выражение:

Тогда производящая функция в точке z=1 имеет вид:

Взяв вторую производную от функции и положив в нее z = 1, мы получим:

Полученные формулы можно использовать для нахождения математического ожидания и дисперсии рассматриваемого распределения, что мы применим при описании характеристик биномиального распределения.