Применение биномиального распределения

Процесс производства

Биномиальное распределение - это одно из самых распространенных дискретных распределении, оно служит вероятностной моделью для многих явлений. Оно возникает в тех случаях, когда нас интересует, сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях. Поясним сказанное на примере.

Рассмотрим какое-либо массовое производство. Даже во время его нормальной работы иногда изготавливаются изделия, не соответствующие стандарту, т.е. дефектные. Обозначим долю дефектных изделий через р, 0<р<1. Какое именно произведенное изделие окажется негодным, сказать заранее (до его изготовления) невозможно. Для описания подобной ситуации обычно используется следующая математическая модель:

а) каждое изделие с вероятностью p может оказаться дефектным (с вероятностью q=1-p оно соответствует стандарту); эта вероятность для всех изделий одинакова;

б) появление как дефектных, так и стандартных изделий происходит независимо друг от друга. Это значит, что в нормальном процессе производства появление бракованного изделия не влияет на возможность появления брака в дальнейшем. Нарушение этого условия означает сбой нормального технологического режима.

Последовательность независимых испытаний, в которых результатом каждого из испытаний может быть один из двух исходов (например, успех и неудача), и вероятность «успеха» (или «неудачи») в каждом из испытаний одна и та же, называется схемой испытаний Бернулли. Поэтому мы можем перефразировать вышесказанное так: в нормальных условиях технологический процесс производства математически представляется схемой испытаний Бернулли.

Ставки на спорт

Одно из самых важных распределений дискретных случайных величин, которые имеют применение в азартных играх и, в частности, в ставках на спорт. Допустим, что мы имеем возможность проводить испытания, в которых некоторое событие X может происходить с постоянной (не зависящей от предыстории) вероятностью P. Число n, случаев, когда происходит событие X при m испытаниях, описывается биномиальным распределением. Вероятность того, что при n испытаниях событие X случится ровно m раз равно.

Традиционно в качестве наглядного примера события X используется выпадение орла или решки при подбрасывании монеты. Биномиальное распределение в данном случае является весьма точной моделью этой физической ситуации. В ставках на спорт это распределение применяется для оценки результатов игрока. Но здесь, в отличие от опытов по подбрасыванию монеты, есть ряд весьма существенных нюансов, которые следует иметь в виду.

Нюансы, о которых идет речь, заключаются в следующем. Дело в том, что в ставках на спорт невозможно найти события, истинная вероятность которых одна и та же и/или просто известна. Более того, спортивных событий имеющих одну и ту же истинную вероятность не существует в природе. Определить истинную вероятность исхода спортивного (политического) события также не представляется возможным, хотя объективно она имеет определенную величину. Биномиальное распределение наиболее часто применяют для оценки результатов игроков или систем. Биномиальное распределение может применяться при определении оптимальной финансовой стратегии.

Экономика

Биномиальное распределение часто используется при оценки рисков проектов, и т.д.