Метод Ньютона (касательных)

Функция , причем f΄(x) и f˝(x) определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке [a,b].

Например как функция:

f(x) =x-2+sin(1/x) f΄(x)=1-cos(1/x)/x^2 f˝(x)=-(sin(1/x)-2*x*cos(1/x))/x^4

на отрезке [ 1.2,2 ]

Выбирается некоторая точка x₀ на отрезке [ a,b ] таким образом, что значение функции и ее второй производной имеют одинаковый знак, и строится касательная к графику функции в точке [ x₀,f(x₀) ]. Уравнение касательной имеет вид

y-f(x₀)=f′(x₀)*(x-x₀).

Точка пересечения касательной с осью абсцисс (y=0) , далее ищется точка пересечения с осью абсцисс касательной построенной к графику функции в точке [ x₁,f(x₁) ] и т.д., т.е. последовательно вычисляются:

Процесс последовательных приближений по методу Ньютона.

Если начальное приближение x₀ выбрано таким образом, что f(x₀)*f˝(x₀) >0, то сходимость метода Ньютона обеспечена (т.е. сходимость x₁, x₂, …, x_n к корню уравнения).

Если корень вычисляется с точностью до ε, то процесс вычислений следует прекратить, когда

,

где m1 - наименьшее значение |f΄(x)| и на [ a,b ],

M2 - наибольшее значение |f˝(x)| на [ a,b ].

При этом выполняется , где ε – заданная предельная абсолютная погрешность корня x^*.

Если , то верно