Квантовый гармонический осциллятор

Выше (п. 1.3) говорилось о тепловых колебаниях кристаллической решетки. Рассмотрим этот вопрос с привлечением понятий квантовой механики.

Линейным гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую линейные гармонические колебания около положения равновесия. При отклонении частицы от положения равновесия возникает возвращающая сила F, направленная к положению равновесия и пропорциональная x (рис. 2.4, а).

F =- f x ₁, (2.42)

где f – постоянная возвращающей силы.

a) x E, U

n =2 E ₂

б) n =1 E ₁ n =0 E ₀

x

Рис. 2.4. Гармонический осциллятор: а – возвращающая сила; б – потенциальная энергия

Осциллятор совершает гармонические колебания с частотой ν.

,

где m – масса или характеристика инерции системы,

и обладает потенциальной энергией (рис. 2.4, б)

. (2.43)

Если в качестве осциллятора выступает микрочастица, нужно воспользоваться уравнением Шредингера, которое после подстановки в него (2.43) приобретает следующий вид:

. (2.44)

Решение уравнения (2.44) осуществляют с помощью преобразований Эрмита. Опуская ход решения, запишем выражение для энергии квантового гармонического осциллятора

, (2.45)

где n – квантовое число, n =0, 1, 2, …

Наименьшее значение энергии осциллятора

, (2.45′)

а при возрастании n энергия увеличивается (рис. 2.4, б) с шагом, равным

Е = h ν. (2.46)

Если рассматривать в качестве осциллятора атом, то (2.45) описывает энергетический спектр этих колебаний или фононов (см. п. 1.3).

Наименьшая энергия E ₀ называется нулевой энергией, является еще одним отличием квантового осциллятора от классического. Смысл наличия нулевой энергии в том, что колебательное движение атома в твердом теле неуничтожимо, E ₀ имеет квантовомеханическую природу.