Свободные затухающие колебания

Если в системе действуют диссипативные силы (силы трения), колебания становятся затухающими. По второму закону Ньютона имеем

ma_x=F_упр+F_тр (11)

где F_тр – сила трения равная

F_тр=r (12)

где r – коэффициент сопротивления среды,

– скорость колеблющегося тела.

Дифференциальное уравнение незатухающих колебаний записывается в виде

ma_x+ +kx=0 (13)

Это уравнение можно преобразовать, разделив почленно на m

(14)

дифференциальное уравнение затухающих гармонических колебаний.

Обозначим - называемый коэффициент затухания.

Решение дифференциального уравнения (закон затухающих колебаний) имеет вид

(15)

где - циклическая частота затухающих колебаний, связанная с частотой незатухающих колебаний и зависящая от свойств внешней среды.

(16)

Ввиду затухания такие колебания не являются строго периодическими. Под их периодом понимают интервал времени между двумя последовательными максимальными отклонениями от положения равновесия.

Амплитуда таких колебаний с течением времени убывает по экспоненциальному закону

(17)

где А₀ – начальная амплитуда,

е – основание натурального логарифма.

Быстроту затухания колебаний характеризуют физической величиной, называемой логарифмическим декрементом затухания , численно равен натуральному логарифму отношения амплитуд, отстоящих друг от друга по времени на период колебаний.