Приближение при помощи показательной функции

Если расположение опытных точек похоже на расположение точек графика показательной функции, то ищем эмпирическую формулу в виде

(4.6)

Если нанесем опытные точки на полулогарифмическую бумагу и они расположатся приблизительно на прямой линии, то мы окончательно убедимся в том, что зависимость y(x) выражается именно показательной функцией.

Для нахождения A и k можно применить метод выбранных точек. Для этого прологарифмируем равенство (4.6).

Полагая здесь , и обозначая , , приходим к уравнению

(4.7)

Зависимость (4.7) – это линейная функция. Для отыскания a и b можно применить один из рассмотренных выше способов. Но лучше всего воспользоваться методом средней (труднее ошибиться). В уравнении (4.7) возвратимся к старым переменным х и у и запишем его в виде

ах + b – lg y = 0 (4.8)

Делим все опытные точки на две группы и для каждой группы сумму невязок уравнения (4.8) приравниваем 0. Получаем систему двух уравнений с неизвестными а и b. Найдя а и b, находим А и k.

Пример. На основании опытных данных результаты разрядки конденсатора U (t) даются таблицей 3.

Таблица 3:

t
U

Если бы мы построили опытные точки на полулогарифмической бумаге, то убедились бы, что они располагаются приблизительно на прямой. Значит зависимость U (t) можно выразить формулой (4.6). Воспользуемся методом средней. Для этого равенство (4.8) запишем через переменные U и t

at + b – lg U = 0.

Здесь, как и прежде b = lg A, a = k lg e.

Разбиваем все опытные точки на две группы. В первую группу включаем первые шестьточек, во вторую – остальные пять точек. Найдём сумму невязок в первой группе и во второй группе и приравняем их к 0

b – lg 100 + a + b – lg 75 + 2 a + b – lg 55 + 3 a + b – lg 40 + 4 a + b – lg 30 + +5 a + b – lg 20 = 15 a + 6 b = 10.