Метод введения новой переменной

Существуют два основных метода интегрирования: подстановка и «по частям».

Введение новой переменной в неопределенном интеграле производится двумя способами:

1) если , где - дифференцируемая функция, то

2) если где - монотонная, дифференцируемая функция новой переменной t, то .

Примеры.

1.

Полагаем, находим получим:

2.

Полагаем, отсюда

Следовательно,

Найти интегралы:

23.

24.

25.

26.

27.

Если подынтегральное выражение можно представить в виде дроби, в числителе которой стоит дифференциал знаменателя, т.е. дроби вида: то интеграл можно вычислить по формуле:

Примеры.

1.

Найдем дифференциал знаменателя: ; сравним полученный результат с числителем. Очевидно, что числитель надо помножить на 2; чтобы дробь не изменилась, помножим на 2 и знаменатель, получим:

2.

Найдем В числителе стоит дифференциал знаменателя, поэтому получим:

Рекомендация. Если подынтегральная функция – дробь, то надо проверить, не является ли числитель дифференциалом знаменателя.

Найти интегралы:

28. ,

29. ,

30. ,

31. ,

32. ,

33. ,

34. ,

35. .

В заданиях 31-35 после выполнения соответствующей замены в знаменателе появляется выражение вида , содержащее полный квадрат. Это делает возможным применение одной из формул VIII, IX, XII, XIII.

В случае, если знаменатель содержит квадратный трехчлен общего вида следует сначала выделить полный квадрат. Напомним, как это делается.

,

.

Примеры

1.

Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:

Полагая получим:

(Применили табличный интеграл IX).

2.

Так как подынтегральное выражение – дробь, то проверим, не является ли числитель дифференциалом знаменателя. Найдем

Чтобы выделить это выражение в числителе, выполним следующие преобразования:

Заметим, что первый интеграл – табличный (III); для второго преобразуем знаменатель:

;

затем, полагая , найдем dx=dt и подставим в интеграл:

.

(Применяя табличный интеграл XII).

3. .

Преобразуем подкоренное выражение:

и, полагая х+3=u, dx=du, получим:

.

(Применена формула XIII).

4.

Преобразуем подкоренное выражение:

Найти интегралы:

36.

37.

38.

39.

40.

Вопросы и задания для самоконтроля.

1. Докажите формулы: XIV.

XV.

2. В чем отличие формул VIII и XIII таблицы интегралов?

3. Проведите вычисление интегралов в общем виде:

4. Объясните, почему в методе подстановки требуют, чтобы функция

была монотонной и дифференцируемой?

5. Найдите интегралы (если нет затруднений, можно устно):