double arrow

Вычисление площадей плоских фигур


Пусть функция y=f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой y=f(x) на [ a, b] численно равна определенному интегралу , т.е.

S= .

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

S = (кв. ед.)

Пусть функция y=f(x) неположительна и непрерывна на отрезке [a, b]. Площадь S над кривой y=f(x) на [ a, b] отличается знаком от определенного интеграла , т.е.

S= - . (17)

Приведем формулу, применение которой упрощает решение задач на вычисление площадей плоских фигур.

Теорема. Пусть на отрезке [a, b] заданы непрерывные функции y=f1(x) и y=f2(x) такие, что . Тогда площадь S фигуры, заключенной между кривыми y=f1(x) и y=f2(x) на отрезке [ a, b] вычисляется по формуле

S= . (18)

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой , решив систему этих уравнений: (-1; -1) и (2; 2). На отрезке [-1; 2] . Воспользуемся формулой (18), полагая f2(x)=x, f1(x)=x2 – 2. Абсциссы точек пересечения линий зададут пределы интегрирования:

 
 

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением r=f( ) и двумя лучами и вычисляется по формуле:

Пример. Найдём площадь области, ограниченной частью спирали r=a (a>0) при ; и отрезком ; оси (см. рис.).

 
 

Применяя формулу, получаем:

Если область имеет границу, состоящую из двух отрезков лучей и (эти отрезки могут вырождаться в одну точку) и двумя линиями, заданными уравнениями в полярных координатах: r=f1( ) и r=f2( ), причём f1( f2( ), при всех (см.рис.)

 
 

то площадь области можно представить как разность двух площадей: S2— площади области, лежащей между лучами и , и линией r=f2( ), и S1— площади области, лежащей между лучами и , линией r=f1( ).

Каждую из площадей S1 и S2 можно подсчитать по формуле, так что получаем в итоге

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x=(t) и y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a,b] оси Ox выражается формулой

.

Заказать ✍️ написание учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Сейчас читают про: