Определение. Группа всех подстановок множества, состоящего из n элементов, называется симметрической группой n-й степени

Группа всех подстановок множества, состоящего из n элементов, называется симметрической группой n -й степени. Она состоит из n! элементов, так как множество из n элементов можно упорядочить n! различными способами.

Умножая, теперь подстановки из нашего примера в обратном порядке, получим

,

откуда видно, что умножение подстановок некоммутативно.

Множество R со сложением в качестве алгебраической операции является группой. Но Q, будучи подмножеством R само является группой по отношению к той же самой операции. Об аддитивной группе рациональных чисел говорим поэтому, что она является подгруппой аддитивной группы действительных чисел. Вообще, не пустое подмножество Н группы G называется ее подгруппой, если Н само является группой по отношению к алгебраической операции в G. Каждая группа содержит в качестве подгруппы саму себя и подгруппу состоящую из одного элемента – единицы группы. Эти подгруппы называются несобственными, всякая другая – собственной.