Пример №2. Пусть дан равносторонний треугольник АВС с центром в точке О

Пусть дан равносторонний треугольник АВС с центром в точке О.

Будем рассматривать вращение треугольника АВС вокруг точки О, совмещающее треугольник АВС с собой (см. рис.1). Будем при этом отождествлять вращение, отличающееся на угол 2πk, k Z.

Таким образом, получим три разных вращения: α₀, α₁, α₁,. α₀ – на углы соответственно 0, 2/3π, 4/3π. Рассматривая множество { α₀, α₁, α₂ } с суперпозицией вращения в качестве алгебраической операции, получим группу – группу вращений равностороннего треугольника. Ее таблицей Кэли является следующая таблица.

Таблица 4.

Но кроме вращений еще возможны и другие самосовмещения треугольника АВС, а именно его симметрии относительно осей АР, ВQ, СR.

Обозначая их соответственно α₃, α₄, α₅, получим группу вращений и осевых симметрий равностороннего треугольника. Таблицей Кэли, которой является таблица 5.

Таблица 5.

Группа вращений равностороннего треугольника является ее подгруппой. Одни симметрии совместное с тождественным отображением не образуют группы.

Сравним две таблицы 2 и 4. Обе они являются таблицами Кэли некоторых групп, каждая из которых состоит из трех элементов. По конкретному характеру своих элементов эти группы совершенно различны. Одна из них - группа чисел 0, 1, 2 со сложением по модулю 3, другая – группа вращений равностороннего треугольника. Если абстрагироваться от конкретного содержания их элементов, замети, что эти таблицы, а значит, и соответственные группы не отличаются одна от другой. Они алгебраически в некотором смысле тождественны. Если мы из таблицы 4 устраним букву α, оставляя только индекс, то эти таблицы вообще ничем не будут отличаться. Это соответствует тому, что мы соответствующие вращения обозначим символами 0, 1, 2. Но ведь мы можем обозначить вращение, как нам захочется. Короче говоря, алгебраическое строение этих групп идентично.