Определение. Группы G и G' называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимнооднозначное соответствие

Группы G и G' называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимнооднозначное соответствие, что если а а' и b b', где а, b G, а',b' G', то ab а' b'.

Поскольку в силу взаимно однозначного соответствия ab (ab)', то изоморфизм двух групп G и G' можно определить еще как такое взаимно однозначное соответствие между их элементами при котором (ab)'=a'b', то есть при котором образ произведения двух элементов равняется произведению их образов. Можно доказать, что при изоморфизме групп единица переходит в единицу и что

(а^-1)' = (а')^-1 , то есть образ обратного элемента равен обратному к его образу.

Примеры изоморфизма групп.

1. Мультипликативная группа корней третий степени из единицы изоморфна группе вращений равностороннего треугольника, а значит и группе множества {0,1,2} со сложением по модулю 3. Заметим, что свойство изоморфизма рефлексивно, симметрично и транзитивно. Вообще мультипликативная группа корней из единицы при произвольном n изоморфна группе вращений правильного n – угольника и группе чисел 0, 1,…, n -1 со сложением по модулю n.

2. Мультипликативная группа положительных действительных чисел изоморфна аддитивной группе всех действительных чисел. Взаимно однозначное соответствие между этими группами установим ток, что каждому действительному положительному числу х поставим в соответствие его логарифм при основании, например, 10. Тогда если х' = lg x и у' = lg у, то (ху)' = lg ху = lg х + lg у = х' + у', так что это соответствие действительно является изоморфизмом.

Можно доказать, что всякая группа изоморфна группе взаимно однозначных отображений некоторого множества на себя.

Теорема Кели: всякая конечная группа порядка и изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы степени n (в частности всей симметрической группе степени n).