Пример 1. Точка движется вдоль оси Х так, что координата х с течением времени изменяется согласно уравнению х = A+Bt+Ct2, где А= 3 м, В =2 м/с,
С =1 м/с2. Найти среднюю скорость тела за первую и вторую секунды движения.
Дано: х =A+Bt+Ct2; А =3 м; В =2 м/с; С =1 м/с2.
Найти: ср1, ср2.
Решение. По определению средняя скорость тела – это отношение пути, пройденного телом за время D t, к величине этого промежутка времени:
.
Выясним, меняет ли точка направление движения в данные интервалы времени. Для этого найдем проекцию мгновенной скорости на ось х:
.
Получили, что во все моменты времени , направление движения точки не меняется.
Путь, пройденный телом за первую секунду:
,
где и - координаты точки в моменты времени и .
В нашем случае t0 =0 c, t1 =1с, следовательно, путь ΔS1:
м
Средняя скорость за первую секунду:
м/с.
Аналогично путь, пройденный телом за вторую секунду:
м.
Средняя скорость за вторую секунду:
м/с.
Ответ: 3 м/с, 5 м/с.
Пример 2. Небольшое тело брошено со скоростью υ0 = 10м/с под углом 450 к горизонту.
|
|
Найти радиус кривизны траектории тела через 1с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.
Дано: = 10 м/с; ; t = 1 с.
Найти: R.
Решение: Будем рассматривать движение тела в прямоугольной системе координат xoy, считая тело материальной точкой.
Рис.4 Рис.5
Движение тела происходит в поле силы тяжести, роль полного ускорения выполняет ускорение, сообщаемое телу силой тяжести, т.е.
.
Сопротивление воздуха отсутствует, поэтому проекция вектора скорости на ось ox постоянна:
. (1)
Проекция скорости на ось oy меняется вследствие действия силы тяжести:
. (2)
В верхней точке траектории , поэтому в момент времени t1, когда тело достигает высшей точки траектории:
,
с.
Так как t1<t, следовательно, тело прошло высшую точку траектории и находится на спуске, например в точке А (рис.4, 5).
Полное ускорение тела в точке А равно ускорению свободного падения , направлено вертикально вниз и перпендикулярно проекции скорости . Нормальное ускорение перпендикулярно вектору скорости . Из подобия треугольников Ааng и следует:
или . (3)
В тоже время:
. (4)
Приравняв соотношения (3) и (4), получим:
. (5)
Следовательно, для нахождения радиуса кривизны траектории необходимо найти скорость тела в момент времени t.
Модуль скорости выразим через ее проекции , :
, (6)
определяемые по формулам (1) и (2):
. (7)
Вычислим скорость , используя формулу (7) и радиус R по фомуле (5):
м/с.
м.
Ответ: м.
Пример 3. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на очень легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули mn в тысячу раз меньше массы шара mш. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно 1 м. Найти скорость пули при условии, что стержень с пулей отклонился от вертикального положения от удара пули на угол 100.
|
|
Дано: ; ; l = 1 м.
Найти: .
Решение. Пусть в момент удара шар находился в положении D. В результате взаимодействия с пулей шар поднялся на некоторую высоту h = СD. Полагая шар материальной точкой,
можно записать на основании закона сохранения импульса для неупругого удара:
, (1)
где - скорость системы «шар - пуля» после попадания пули в шар.
По закону сохранения механической энергии для системы «шар - пуля»:
. (2)
Из рис.6 следует:
,
откуда . (3)
Так как , то .
Преобразуем соотношения (1) и (2), учтя, что , получим:
; (4)
. (5)
Из уравнений (3)и (5) находим скорость шара с пулей, полученную в момент удара пули:
.
Проверим размерность:
.
Выполним вычисления:
м/с.
Ответ: =550 м/с.
Пример 4. Найти кинетическую энергию платформы, движущейся со скоростью 9 км/ч, если масса платформы вместе с колесами 78 кг. Колеса считать однородными дисками. Общая масса колес 3 кг.
Дано: mп = 78 кг; 4 mк =m=3 кг; = 9 км/ч=2,5 м/c.
Найти: Ек.
Решение. Кинетическая энергия платформы складывается из энергии поступательного движения Епост платформы как целого и кинетической энергии вращательного движения четырех колес Евр:
,
, ;
где I – момент инерции колеса (сплошного диска) массой mk и радиуса r относительно оси вращения, проходящей через центр колеса ().
Учитывая, что , , а , получим:
.
Поэтому полная кинетическая энергия платформы
Дж.
Ответ: 250 Дж.