Краткие теоретические сведения
Основные понятия
Одномерное временное уравнение Шредингера
где мнимая единица масса частицы; волновая функция, описывающая состояние частицы.
Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы:
где амплитуда волны де Бройля; импульс частицы; энергия частицы.
Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний:
где полная энергия частицы; потенциальная энергия; координатная (или амплитудная) часть волновой функции.
Для случая трех измерений уравнение Шредингера записывается в виде:
или в операторной форме:
где оператор Лапласа.
Стандартные условия, которым должна удовлетворять волновая функция:
1) конечность (во всем пространстве; 2) однозначность; 3) непрерывность самой функции и ее первой производной.
Вероятность обнаружить частицу в интервале от до (в одномерном случае) выражается формулой:
где плотность вероятности.
Вероятность обнаружить частицу в интервале от до находится интегрированием в указанных пределах:
Собственное значение энергии частицы, находящейся на м энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике, определяется формулой:
где ширина потенциального ящика.
Соответствующая этой энергии собственная волновая функция имеет вид:
Коэффициент преломления волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера бесконечной ширины (см Рис.1):
|
где и длины волн де Бройля в областях I и II (частица движется из области I во II); соответствующие значения волновых чисел.
Коэффициенты отражения и пропускания волн де Бройля через низкий потенциальный барьер бесконечной ширины:
где и волновые числа волн де Бройля в областях I и II.
Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера конечной ширины:
где высота потенциального барьера; энергия частицы; ширина барьера.
Вопросы для ответа у доски
1. Каким свойствам должна удовлетворять волновая функция?
2. В чем заключается физический смысл волновой функции?
3. Для каких частиц справедливо уравнение Шредингера?
4. Почему уравнение Шредингера сформулировано как волновое уравнение?
5. Запишите временное и стационарное уравнение Шредингера и проанализируйте их.
6. Запишите одномерное временное и стационарное уравнения Шредингера и проанализируйте их.
Примеры решения задач:
Задача 1. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной . Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (, будет обнаружен в средней трети ящика.