double arrow

Решение. Капитализация процентов или реинвестирование означает, что наращенная за текущий период сумма зачисляется

руб.;

мес.;

.

Капитализация процентов или реинвестирование означает, что наращенная за текущий период сумма зачисляется на следующий период в качестве современной стоимости. Период капитализации составляет 1 месяц, т. е. 1/12 часть года, и таких периодов 9. Наращенную сумму определяем по формуле (2.11), приняв в ней , . Тогда

(руб.).

Для сравнения определим наращенную сумму без капитализации по формуле (2.4):

(руб.).

Таким образом, наиболее привлекательным для вкладчика и наименее привлекательным для банка является реинвестирование.

2.5. Наращение денежных средств с использованием
сложной процентной ставки

Операцию наращения по сложной процентной ставке (сложными процентами) применяют в средне- и долгосрочных ФО операциях продолжительностью более одного года, если проценты не выплачивают сразу после их начисления, а присоединяют к сумме долга [3]. База для начисления сложных процентов постоянно возрастает с каждым фиксированным периодом времени между начислением процентов. Наращение по сложной процентной ставке можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на несколько равных периодов начисления. Обычно, в зависимости от условий ФО, сложные проценты начисляют один раз в месяц, квартал, полугодие или год, поэтому предполагается, что процентная ставка i однозначно согласована с продолжительностью соответствующего периода времени, т. е. является соответственно месячной, квартальной, полугодовой или годовой.

Пусть некоторая денежная сумма PV была положена в банк на период времени , например, на один год. Тогда к концу этого года по годовой процентной ставке i будут в соответствии с формулой (2.1) начислены декурсивные проценты , а наращенная сумма в соответствии с формулой (2.2) будет равна . Если всю эту сумму переоформят на второй год , то к концу этого года на нее будут начислены проценты , а наращенная сумма будет равна . В данной фо­рмуле показатель степени «2» соответствует продолжительности ФО, составляющей 2 полных года. В общем случае этот показатель численно равен количеству лет между начислением процентов, что соответствует продолжительности ФО. Тогда формула для расчета наращенной суммы FV примет вид:

  . (2.12)

Полученную формулу называют формулой наращения сложными процентами с использованием процентной ставки i, а множитель множителем наращения. Этот множитель соответствует индексу роста B.

Формула (2.12) показывает, что наращение по сложной процентной ставке осуществляется в соответствии с геометрической прогрессией, первый член которой равен PV, а знаменатель – [3]. Формула (2.12) является частным случаем формулы (2.11) и может быть получена из нее при условии согласования процентной ставки i с периодом начисления процентов, когда этот период равен одному году.

В операции наращения по сложной процентной ставке общая сумма начисленных процентов с учетом формул (1.1) и (2.12) будет равна:

  . (2.13)

Эта сумма не пропорциональна ни продолжительности ФО t, ни процентной ставке i, за исключением случая .

Формула (2.13) показывают, что зависимость суммы начисленных процентов I от продолжительности ФО t нелинейная, а функция является показательной, т. к. аргумент этой функции t представляет собой показатель степени. Формула также показывает, что, в отличие от наращения по простой процентной ставке i, проценты, начисленные по сложной процентной ставке за очередной период начисления, выше, чем за предшествующий период, равный ему по продолжительности (рис. 2.3).

Если возникает необходимость определения суммы начисленных процентов за несколько промежуточных периодов или за отдельные промежуточные периоды, то можно использовать следующие формулы:

– за первый период или , где – наращенная сумма за первый период, определяемая по формуле (2.12);

– за два периода ;

за второй период или ;

– …;

– за весь период ФО (за все t периодов) ;

за последний период или .

Во многих случаях продолжительность ФО не совпадает с целым числом периодов начисления процентов. Пусть продолжительность ФО представлена в виде , где t – целое число периодов, например, лет, а – дробная часть периода, например часть года, выраженная в виде обыкновенной или десятичной дроби. Тогда используют один из двух вариантов расчета наращенной суммы FV [2]:

– по схеме сложных процентов

  ; (2.14)

– по смешанной схеме

  , (2.15)

в которой для целого числа периодов используют схему сложных процентов, а для дробной части – схему простых процентов.

Часто на практике (в депозитных договорах, в соглашениях на получение кредита, в контрактах, оговаривающих выплату дивидендов) капитализация процентов происходит несколько раз в году – по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно, ежедневно. При этом задают продолжительность ФО n в годах, количество k периодов начисления процентов в году и годовую процентную ставку i, которую называют номинальной (nominal rate). Тогда фактор времени t в формуле (2.12) будет равен , а сама формула примет вид:

  . (2.16)

Тогда можно считать формулу (2.12) частным случаем данной формулы при и . Если продолжительность ФО не равна целому числу лет, то показатель степени в формуле (2.16) следует представить в виде , где n – целое количество лет (в том числе и 0), m – количество месяцев последнего (неполного) года. Результаты расчетов по данной формуле совпадают с результатами, полученными по формуле (2.11), т. к. наращение по сложной процентной ставке представляет собой реинвестирование.

2.6. Наращение денежных средств с использованием
простой учетной ставки

Операцию наращения по простой учетной ставке применяют в краткосрочных ФО с векселями продолжительностью до одного года, когда возникает необходимость определения номинальной стоимости FV, которую следует проставить в векселе, если известна текущая величина долга PV [2]. Формула наращения простыми процентами с использованием учетной ставки d имеет вид:

  . (2.17)

В данной формуле множитель называют множителем наращения. Этот множитель соответствует индексу роста B. Он всегда больше единицы, поэтому наращенная сумма FV всегда больше современной стоимости PV. Для этого знаменатель должен быть меньше единицы (но больше нуля), следовательно, должно выполняться неравенство , тогда . Таким образом, функция наращения по простой учетной ставке (рис. 2.4) асимптотически приближается к вертикальной линии . В предельном случае при расчет не имеет смысла, т. к. функция обращается в бесконечность. Темпы роста денежных средств при наращении по про­с­той учетной ставке выше, чем по простой процентной ставке.

Сумму процентов, начисленную за период времени t, с учетом формул (1.1) и (2.17) определяют по формуле

  . (2.18)

Формула (2.18) показывают, что зависимость суммы начисленных процентов I от продолжительности ФО t нелинейная (см. рис. 2.3, 2.4). Формула также показывает, что, в отличие от наращения по простой процентной ставке i, проценты, начисленные по простой учетной ставке d за очередной период начисления, выше, чем за предшествующий период, равный ему по продолжительности [2].

Если возникает необходимость определения суммы начисленных процентов за несколько промежуточных периодов или за отдельные промежуточные периоды, можно использовать следующие формулы:

– за первый период или , где – наращенная сумма за первый период, определяемая по формуле (2.17);

– за два периода ;

за второй период

или . Сравнивая формулы для и , нетрудно заметить, что знаменатель в формуле меньше знаменателя в формуле в раз, т. к. величина в каждой скобке меньше единицы. Следовательно, в раз;

– …;

– за весь период ФО (за все t периодов) ;

за последний период

или .

2.7. Наращение денежных средств с использованием
сложной учетной ставки

Операцию наращения по сложной учетной ставке применяют в средне- и долгосрочных ФО продолжительностью более одного года. Наращенную сумму F при этом определяют по формуле

  . (2.19)

В данной формуле множитель наращения равен . Этот множитель соответствует индексу роста B. Он всегда больше единицы, поэтому наращенная сумма FV всегда больше современной стоимости PV. Сумму процентов, начисленную за период времени t, с учетом формул (1.1) и (2.19) определяют по формуле

  . (2.20)

Формула (2.20) показывают, что зависимость суммы начисленных процентов I от продолжительности ФО t нелинейная (см. рис. 2.3). Формула также показывает, что, в отличие от наращения по простой процентной ставке i, проценты, начисленные по сложной учетной ставке d за очередной период начисления, выше, чем за предшествующий период, равный ему по продолжительности.

Если возникает необходимость определения суммы начисленных процентов за несколько промежуточных периодов или за отдельные промежуточные периоды, можно использовать следующие формулы:

– за первый период или , где – наращенная сумма за первый период, определяемая по формуле (2.19);

– за два периода ;

за второй период или ;

– …;

– за весь период ФО (за все t периодов) ;

за последний период или .

Если в ФО предусмотрено начисление процентов k раз в году, то задают продолжительность ФО n в годах и номинальную годовую учетную ставку d. Тогда формула (2.19) примет вид:

  . (2.21)

Тогда можно считать формулу (2.19) частным случаем данной формулы при и . При использовании формулы (2.21) следует формально принимать в случаях, когда продолжительность ФО меньше или равна одному году.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: