Понятие операции наращения денежных средств

Наращением называют ФО, в которой по современной стоимости денег РV оп­ре­деляют их будущую стоимость FV.

В ФО наращения принято называть величину FV наращенной суммой, а ставку – ставкой наращения.

ФО наращения обе­с­­пе­чи­ва­ет преобразование современной сто­и­мости денег РV в наращенную сумму FV с начислением декурсивных простых или сло­ж­ных процентов I по установленным ставкам наращения (процен­т­ной i или учетной d) под действием фактора времени t. Схема такого преобразования может быть представлена в виде опе­ратора наращения (рис. 2.1). Стрелки на графиках показывают на­п­равления изменения денежных сумм в сторону увеличения от текущего момента времени к определенному моменту времени t в будущем, поэтому считают, что опе­рация наращения «обращена от текущего момента времени к заданному моменту времени в будущем».

2.2. Наращение денежных средств с использованием
простой процентной ставки

Операцию наращения по простой процентной ставке (наращение простыми процентами) применяют в краткосрочных кредитных операциях продолжительностью до одного года (краткосрочный, потребительский, ломбардный кредиты), или в случаях, когда проценты не присоединяют к сумме долга, а периодически выплачивают [3]. Предоставляя деньги в долг, кредитор получает доход в виде декурсивных процентов или процентного дохода I:

.

(2.1)

В этой формуле множитель называют процентным числом (interest num­ber).

При наращении по постоянной простой процентной ставке при заданной современной сто­имости РV исполь­зуется линейная зависимость суммы начисленных процентов I от продолжительности ФО t (рис. 2.2). Функция линейная, т. к. аргумент этой функции t входит в формулу (2.1) в первой степени. Из этого следует, что в каждом из равных по времени соседних периодов будут начислены равные суммы процентов. Пусть деньги находились в пользовании в течение двух равных периодов, например, в течение двух лет. К концу первого года сумма процентов по формуле (2.1) составит . Для последующего обобщения будет удобно обозначить сумму процентов, начисленных за очередной j‑ й период, через , а сумму процентов, начисленных за все j периодов, начиная с первого, – через . Очевидно, что за первый период (год) . За два полных года сумма процентов будет равна . Тогда только за вто­рой год сумма процентов составит . Таким образом, в общем случае за любые равные периоды времени будут начислены равные суммы процентов.

С учетом формул (1.1) и (2.1) можно выразить наращенную сумму FV:

.

(2.2)

Полученную формулу называют формулой наращения простыми процентами с использованием процентной ставки i, а множитель – множителем наращения (accumulation factor). Этот множитель соответствует индексу роста B. Он всегда больше единицы, поэтому наращенная сумма FV всегда больше современной стоимости PV. Однако, например, за счет инфляции покупательная способность суммы FV может оказаться меньше, чем покупательная способность современной стоимости PV.

Если возникает необходимость определения суммы начисленных процентов за несколько промежуточных периодов или за отдельные промежуточные периоды, можно использовать следующие формулы:

– за первый период или ,

где – наращенная сумма за первый период, определяемая по формуле (2.2);

– за два периода ;

за второй период или ;

– …;

– за весь период ФО (за все t периодов) ;

за последний период

или .

В зависимости от того, какими единицами задана продолжительность ФО, можно с учетом формул (1.6)–(1.8) записать три частных случая результирующей формулы (2.2):

– при задании числом дней :

;

(2.3)

– при задании числом месяцев m:

;

(2.4)

– при задании числом лет n:

.

(2.5)

В дальнейших расчетах в зависимости от исходных данных используют соответствующую формулу.

Пример 2.1. Клиент поместил денежные средства в размере 60 000 рублей на депозитный счет в банк 10 февраля. 10 августа счет был закрыт. Год не високосный. Простая процентная ставка 12% годовых. Определить наращенную сумму для трех способов начисления процентов:

а) АСТ/АСТ;

б) АСТ/360;

в) 360/360.