Определение 1

Функция называется ограниченной по сравнению с функцией при , если существует такая

-окрестность точки и такая постоянная что как только , тотчас выполняется .

Для введенного понятия используется следующее обозначение: при (читается так: « есть большое от при »).

Знак имеет здесь иной смысл, чем обычно, он лишь указывает на то, что рассматриваемое свойство имеет место только в некоторой окрестности точки , но ни о каком пределе речь не идет.

Аналогично определяется смысл записи при , , x→∞, x→+∞, x→–∞.

Если , то запись , означает, что в некоторой проколотой окрестности точки функция ограничена.

Пример 1. Верно ли: , , если

1) , , ;

2) , , .

1) Используя известное неравенство при , получаем, что постоянное , . Верно.

2) Для имеем: , следовательно, функция при , хотя функция не является ограниченной при , она ограничена по сравнению с функцией .