Теорема о пределе композиции функций

Пусть , , - предельная точка множества , - предельная точка множества , , , при этом , если .

Тогда при существует предел композиции :

.

Эта теорема позволяет вычислять пределы, переходя от переменной к новой переменной .

В случае непрерывности функции в точке утверждение теоремы можно записать в виде формулы:

.

Пример 14. Найти .

Применяя теорему о пределе композиции, будем иметь:

.

Понятие бесконечно малой (б.м.) и бесконечно большой (б.б.), их связь и леммы о бесконечно малых также могут быть использованы при отыскании пределов.

Определение бесконечно малой:

Функция называется бесконечно малой функцией (или просто б.м.) при , если .

Справедливы леммы о б.м.

Лемма 1:

Если и - б.м. при , а С₁,С₂ – вещественные числа, то также б.м. при .

Лемма 2:

Если функция ограничена в окрестности точки , а - б.м. при , то их произведение является б.м. при .

Определение бесконечно большой:

Функция называется бесконечно большой при , если для такое, что для тотчас выполняется: , т.е. .

Связь между б.м. и б.б.:

Функция , отличная от нуля при , является б.м. при тогда и только тогда, когда обратная величина является б.б. при .

Пример 15. Найти .

Функция является ограниченной при , ибо для , а функция является б.м. при как величина, обратная б.б. функции (x²+1), следовательно, по лемме 2 о б.м. =0.

Пример 16. Найти .

, а тогда =0, откуда .

Возможны случаи, когда ни понятия непрерывности, ни теорема об арифметических свойствах предела, ни леммы о б.м. неприменимы, и необходимо рассматривать пределы неопределенных выражений. Так, если при функции и есть б.м., и - б.б., а то возникают неопределенности, условно обозначаемые (1) , (2) , (3) , (4) , (5) . Для раскрытия неопределенностей используются 1-й и 2-ой замечательные пределы и следствия из них:

I. - 1^ый замечательный предел;

II. = – 2^ой замечательный предел;

IIа. , IIб. ,

IIв. .

В примерах 17-43 найти пределы, раскрыв неопределённости.

Пример 17.

Пример 18.

Пример 19.

.

Пример 20. , .

Сделаем замену переменной , тогда при должно быть . Имеем:

Пример 21.

Пример 22.

.

Пример 23. .

Делаем замену , если , то . Используем следствие IIв из 2^го замечательного предела:

Пример 24.

Пример 25.

Делаем замену , если , то .

Тогда - c использованием следствия II в.

Пример 26.

Пример 27.

Пример 28. =

Пример 29. =

Пример 30. , .

Делаем замену , если , то . Тогда , поэтому .

Пример31.

.

Пример 32. .

Так как , то .

Пример 33.

Пример 34. .

Учитывая, что:

и

получим:

Пример 35.

Пример 36.

-

как произведение б.м. функции при на ограниченную функцию .

Пример 37.

- с использованием следствия IIа.

Пример 38.

Пример 39. ,

используя следствие IIб.

Пример 40. .

Пример 41.

Пример 42. Для

При вычислении первого из пределов используем следствие IIб, а во втором сделаем замену , если , то . Тогда

Пример 43.

-

с использованием непрерывности степенной и показательной функций и следствия IIб.

Рассмотрим функцию вида: , называемую показательно-степенной. Данная функция непрерывна в любой точке , где непрерывны функции и и где . Используя логарифмическое тождество и теоремы о непрерывности композиции и произведения непрерывных функций, будем иметь: .

Но не всегда может быть найден непосредственно, он может представлять собой неопределённость, если представляет неопределённость вида Это возможно в трёх случаях: 1) , 2) , , 3) , при , и мы приходим к следующим типам неопределённостей: , , . Посредством использования логарифмического тождества эти неопределённости сводятся к более простой - .

Пример 44. Найти .

Неопределённость вида можно раскрывать с помощью 2–го замечательного предела. Покажем это:

Положим далее ,

, тогда . Так как при , то , и тогда – по теореме о пределе композиции и с использованием 2-го замечательного предела. В силу непрерывности показательно- степенной функции получаем: , при этом представляет неопределённость вида .

Итак,

- с использованием следствия IIв

Пример 45. Найти .

.

Пример 46. Найти .

.