double arrow

Теорема. Для того чтобы функции и были функциями одного порядка при , достаточно, чтобы при


Для того чтобы функции и были функциями одного порядка при , достаточно, чтобы при существовал конечный и не равный нулю предел отношения этих функций: .

Пример 2. Какие из следующих пар функций являются функциями одного порядка при :

1) , ;

2)

3) , ;

4) , .

1) Так как , то , .

2) Учитывая, что , имеем: . Отметим, что при обе функции являются бесконечно большими.

3) не существует. Однако же данные функции являются при функциями одного порядка. Действительно, так как при , то , то есть . С другой стороны, , , то есть и . Итак, ,

4) Воспользоваться теоремой нельзя, так как .

Данные функции не являются функциями одного порядка при , так как, какова бы ни была постоянная , неравенство , не выполняется ни в какой окрестности точки , и функция не является ограниченной по сравнению с функцией при .

Отметим, что пример 2.3 показывает: существование конечного предела достаточное, но не является необходимым условием того, что функции и одного порядка при .


Сейчас читают про: