Для того чтобы функции и были функциями одного порядка при , достаточно, чтобы при существовал конечный и не равный нулю предел отношения этих функций: .
Пример 2. Какие из следующих пар функций являются функциями одного порядка при :
1) , ;
2)
3) , ;
4) , .
1) Так как , то , .
2) Учитывая, что , имеем: . Отметим, что при обе функции являются бесконечно большими.
3) не существует. Однако же данные функции являются при функциями одного порядка. Действительно, так как при , то , то есть . С другой стороны, , , то есть и . Итак, ,
4) Воспользоваться теоремой нельзя, так как .
Данные функции не являются функциями одного порядка при , так как, какова бы ни была постоянная , неравенство , не выполняется ни в какой окрестности точки , и функция не является ограниченной по сравнению с функцией при .
Отметим, что пример 2.3 показывает: существование конечного предела достаточное, но не является необходимым условием того, что функции и одного порядка при .