Последовательность. Характер изменения переменных величин

Пусть дано некоторое множество чисел, расположенных в определенном порядке:

, , , …, , … (1)

Определение. Числовой последовательностью называется занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания их номеров:

, , …, , …,

, , … – элементы последовательности;

– общий член последовательности: выражение для – формула для вычисления любого члена последовательности.

В последовательности (1) .

В математике различают постоянные и переменные величины. Переменные величины, в свою очередь, бывают дискретными и непрерывными.

Пример 1.

– непрерывная величина; выражение (1) – дискретная величина.

Определение. Переменная величина называется ограниченной, если существует число , что для всех своих значений . В противном случае величина называется неограниченной.

Пример 2.

Рассмотрим функцию
(рис. 10).

Если , то функция ограниченная, т.к. .

Если , то функция неограниченная.

Определение. Бесконечно малой (б/м) называется переменная величина , которая при последовательном изменении по абсолютному значению становится и при дальнейшем изменении остается меньше любой, наперед заданной сколь угодно малой положительной величины : .

Пример 3.

: , , …, , …

– единственное б/м постоянное число.

Определение. Бесконечно большой (б/б) называется переменная величина , которая при последовательном изменении по абсолютному значению становится и при дальнейшем изменении остается больше любого, наперед заданного сколь угодно большого положительного числа : .