Непрерывность функции

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются условия:

1) определена в точке и некоторой ее окрестности;

2) существует ;

3) этот предел равен значению функции в точке : .

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если эта функция определена в некоторой окрестности точки и если

т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение 3. Функция называется непрерывной на отрезке (интервале), если она непрерывна в каждой точке данного отрезка (интервала).

Замечание (к определению 3). Существует понятие непрерывность слева (справа). В этом случае в исследуемых точках вычисляются односторонние пределы. Если не выполняется хотя бы одно из условий определений 1, 2, то функция не будет непрерывна в точке , и точка в этом случае называется точкой разрыва функции .

Точки разрыва принято подразделять на два типа.

Определение 4. Точка (точка разрыва) называется точкой разрыва I-го рода функции , если существуют односторонние пределы этой функции при слева и справа. Все остальные точки разрыва относятся к точкам разрыва II-го рода.

Определение 5. Точка разрыва I-го рода функции называется устранимой точкой разрыва, если существуют односторонние пределы функции в точке и они равны: