Решение системы уравнений и анализ результатов расчета

Таким образом, уравнения равновесия для фермы примут вид

. (2.8)

Решение системы уравнений (2.8) сводится к вычислению вектора-столбца неизвестных перемещений

. (2.9)

Существуют стандартные программы решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса без нахождения обратной матрицы к матрице жесткости (SIMQ “Fortrun”).

После решения уравнений (2.8) и нахождения узловых обобщенных перемещений по выражению (2.9) определяются узловые продольные перемещения в локальной системе координат для каждого элемента по формуле (2.1):

По продольным перемещениям в локальной системе координат можно найти величину относительной деформации :

(2.10)

И величину внутренних нормальных напряжений в каждом элементе

(2.11)

А также продольное внутреннее усилие

(2.12)

Для решения динамической задачи формируется система уравнений вида:

, (2.13)

в которой глобальная матрица масс формируется аналогично матрице жесткости путем сложения матриц масс элементов.

Поиск частного решения уравнения (2.13), при гармоническом внешнем воздействии , сводится к заданию выражения для обобщенных перемещений в виде функций, подобных правой части уравнения.

Пусть внешние силы изменяются по закону:

= . (2.14)

Если ни одна из собственных частот колебаний не совпадает с частотой , то возможно найти амплитуды вынужденных установившихся колебаний.

Произвольное частное решение уравнения (2.13), соответствующее установившемуся режиму, представим в виде

(2.15)

Вторая производная от выражения (2.15) равна

Подставляя выражение (2.15) в уравнение (2.13), получим

Приравнивая коэффициенты в левой и правой части при , приходим к линейной системе алгебраических уравнений:

,

вынесем за скобки неизвестные амплитудные значения

(2.16)

Обозначим

,

тогда уравнение (2.16) становится аналогичным (2.8)

(2.17)

В матрице и столбце необходимо преобразовать строки, соответствующие перемещениям, на которые наложены ограничения (необходимо учесть главные граничные условия), также как это производилось для матрицы [K] при статических расчетах. После система уравнений (2.17) решается с помощью программы, реализующей метод Гаусса и находятся амплитуды вынужденных колебаний в решении (2.15) для установившегося режима.