Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интеграл типа , где R обозначает рациональную функцию своих аргументов и . Интеграл данного типа сводится к интегралу от рациональной функции с помощью так называемой универсальной постановки:

.

Действительно, и

= .

Тогда, подставляя в данный интеграл вместо , и полученные выражения, будем иметь под знаком интеграла рациональную функцию.

Пример 13. Вычислить интеграл .

Решение: Подстановка дает:

= =

Универсальная подстановка нередко приводит к сложным вычислениям. Поэтому в указанных ниже случаях предпочтительней частные подстановки, также рационализирующие интеграл.

Если , то применима подстановка ;

если , то применима подстановка ;

если , то применима подстановка .

Пример 14. Вычислить интеграл .

Решение: Положим и найдем:

поэтому:

= = = .

Рассмотрим интеграл вида , где m и n – целые числа. Возможны следующие случаи:

1. Одно из чисел m или n – нечетное, например , тогда полагая , получим:

= = .

2. Оба числа m и n – четные. Тогда рекомендуется воспользоваться тригонометрическими формулами понижения степени:

.

Пример 15. Вычислить интеграл .

Решение:

= = .