Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется функция, равная отношению двух многочленов:

,

где m, n – целые положительные числа, – действительные числа ().

Если , то называется правильной рациональной дробью, если – неправильной дробью.

Всякую неправильную дробь путем деления на можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.

,

где , - многочлены; – правильная рациональная дробь .

Интегрирование правильной рациональной дроби основано на следующей теории.

Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех видов:

где A, a, M, N, p, q – действительные числа, k – натуральное число .

В алгебре устанавливается, что если знаменатель дроби представить в виде:

то в разложении самой дроби:

а) каждому множителю вида соответствует одна простейшая дробь вида ;

б) каждому множителю вида соответствует сумма простейших дробей вида: ;

в) каждому множителю соответствует одна простейшая дробь вида .

Пример 12. Найти интеграл .

Решение: Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей:

.

Приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:

Так как данное тождество должно выполняться для любого , то зададим аргументу значение и получим .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в тождестве, находим:

при :

при :

при :

при :

Подставив значение , находим: , , .

Поэтому получаем: