2015-02-04
373
Рациональной дробью 
называется функция, равная отношению двух многочленов:
,
где m, n – целые положительные числа, 
– действительные числа (
).
Если 
, то называется правильной рациональной дробью, если 
– неправильной дробью.
Всякую неправильную дробь путем деления 
на 
можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.
,
где 
, 
- многочлены; 
– правильная рациональная дробь 
.
Интегрирование правильной рациональной дроби основано на следующей теории.
Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех видов:
где A, a, M, N, p, q – действительные числа, k – натуральное число 
.
В алгебре устанавливается, что если знаменатель дроби представить в виде:
то в разложении самой дроби:
а) каждому множителю вида 
соответствует одна простейшая дробь вида 
;
б) каждому множителю вида 
соответствует сумма простейших дробей вида: 
;
в) каждому множителю 
соответствует одна простейшая дробь вида 
.
Пример 12. Найти интеграл 
.
Решение: Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей:
.
Приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:
Так как данное тождество должно выполняться для любого 
, то зададим аргументу значение 
и получим 
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в тождестве, находим:
при 
: 
при 
: 
при : 
при 
: 
Подставив значение 
, находим: 
, 
, 
.
Поэтому получаем:
