Композиция (свертка) законов распределения

Часто на практике возникает задача определения ЗРСВ , являющейся суммой координат . Если при этом одну из СВ интерпретировать как полезный сигнал, а вторую СВ как шум, то в приложениях эта задача известна как исследование модели «сигнал + шум».

Применяя формулы (4.8) и (4.9) для функции получаем следующие результаты.

Если - , принимающий конечное число значений с вероятностями , , то – ДСВ и ее возможными значениями , , являются различные среди значений . Вероятности значений определяются по формуле:

, (4.10)

(при этом предполагается, что вероятность , если ни при каком j, и аналогично вероятность , если ни при каком i).

Если - сПВ , то СВ является непрерывной и ФР СВ имеет вид:

а, после расстановки пределов по области ,

Дифференцируя обе части последнего равенства по , получаем:

(4.11)

(в точках непрерывности ПВ , и ).

Если дополнительно известно, что координаты являются независимыми СВ, то:

· СВ является дискретной, если и - ДСВ, и имеет ЗР, определяемый в соответствии с (4.10) вероятностями:

, (4.12)

(при этом предполагается, что вероятность , если ни при каком j, и аналогично вероятность , если ни при каком i).

· СВ является непрерывной, если и - НСВ, и имеет в соответствии с (4.11) ПВ:

, (4.13)

где и - ПВСВ и соответственно;

· СВ является непрерывной, если - дискретная а - непрерывная СВ, и имеет ПВ:

, (4.14)

где и , - значения СВ и соответствующие им вероятности, а - ПВ СВ .

Получается данныйрезультат комбинированием дискретного и непрерывного случаев. Вначале находится ФР НСВ с учетом независимости СВ и :

а затем дифференцированием по получаем для ПВ выражение (4.14).

Задача определения ЗР суммы независимых СВпо ЗР слагаемых в теории вероятностей называется задачей композиции ЗР, а в функциональном анализе – сверткой функций. По этой причине формулу (4.13) кратко можно записать в виде (где означает операцию свертки), а интегралы в ней называют интегралами свертки.