Виды сходимости последовательностей случайных величин и связь между ними

Определение. Говорят, что последовательность СВ сходится по вероятности к величине (случайной или нет), если для любого

или, что эквивалентно,

Краткое обозначение сходимости по вероятности: .

Определение. Говорят, что последовательность СВ сходится в среднем квадратическом к величине (случайной или нет), если

.

Краткое обозначение сходимости в среднем квадратическом: или (limitinthemean).

Лемма. Если последовательность СВ сходится к величине в среднем квадратическом, то она сходится к этой величине и по вероятности:

.

▲ В силу неравенства Чебышева

.

Поэтому, если , то и, следовательно, для любого , поскольку вероятность не может быть отрицательной (лемма о двух милиционерах)■.

Смысл леммы: сходимость в среднем квадратическом является более сильной, чем сходимость по вероятности. Обратное неверно: из сходимости по вероятности сходимость в среднем квадратическом не следует.

Смысл введенных видов сходимостей последовательностей СВ: понятие предела определено только для числовой последовательности, поэтому случайность под знаком предела должна быть ликвидирована. Это делается либо с помощью вероятности, либо с помощью математического ожидания со своим понятием близости между и .