Решение. Рассмотрим следующие случайные события

Рассмотрим следующие случайные события:

H₁ – из первого ящика переложили во второй 2 белых шара;

H₂ – из первого ящика переложили во второй 2 чёрных шара;

H₃ – из первого ящика переложили во второй 1 белый и 1 чёрный шар;

B – в первом ящике осталось не более 2 ^х белых шаров;

С – шар, извлечённый из второго ящика, – белый.

Найдём вероятности событий H₁, H₂, H₃.

; ; .

(; ; ; ).

1. Событие B состоит в том, что произошло или событие H₁ (тогда в первом ящике остался только один белый шар), или событие H₃ (при этом в первом ящике осталось два белых шара), т.е. В = H₁ + H₃. Так как события H₁ и H₃ несовместны, то

.

2. Для вычисления вероятности события C воспользуемся формулой полной вероятности.

События H₁, H₂, H₃ образуют полную группу событий. Найдём условные вероятности события C:

; ; .

Поэтому

3. В третьем пункте задачи речь идёт о том, что надо найти вероятность события H₃ («шары, переложенные во второй ящик, были разного цвета») при условии, что произошло событие C («из второго ящика достали белый шар»), т.е. следует найти . Эту вероятность найдём по формуле Бейеса:

.

Пример 2. Вероятность наступления события в каждом из n одинаковых и независимых испытаний равна p. В пунктах а), б) и в) найти вероятность того, что в этих испытаниях событие появится k раз; в пункте г) найти вероятность того, что событие появится не менее a раз и не более b раз.

a) p = 0,45, n = 8, k = 4; б) p = 0,02, n = 300, k = 5;

в) p = 0,7, n = 2100, k = 1500; г) p = 0,375, n = 1375, a = 525, b = 545.