Системы с конечной длительностью затухания переходных процессов

В общем случае переходный процесс в линейной импульсной системе протекает неограниченно долго. Однако в отличие от непрерывных систем, здесь возможно создание условий, при которых длительность переходных процессов при произвольных воздействиях оказывается конечной. В таких системах, начиная с некоторого момента времени, импульсная характеристика тождественно равна нулю:

w при , (1)

т.е. затухает для дискретных значений за периодов дискретности.

Учитывая связь между решетчатой весовой функцией цифровой системыи её дискретной передаточной функцией в виде

получаем, что ДПФ цифровой системы, для которой справедливо условие (1), должна удовлетворять равенству

. (2)

В общем случае дискретная передаточная функция замкнутой цифровой системы имеет вид отношения двух многочленов:

, . (3)

Сравнивая правые части (2) и (3), замечаем, что они могут быть тождественны лишь тогда, когда дробь в правой части равенства (3) превратится в многочлен. Но это может иметь место лишь тогда, когда

, (4)

т.е. , . (5)

Действительно, при выполнении условий (4) из (5) получаем при учете (2):

откуда следует, что .

Таким образом, при выполнении условий (4) весовая функция цифровой системы (ее дискретные значения) затухает за время, равное , где -порядок полинома в знаменателе передаточной функции .

Пример 1

Для цифровой системы определить условия, при которых переходный поцесс заканчивается за конечное число периодов дискретности .

Случай 1: , .

Дискретная передаточная функция замкнутой системы имеет вид

.

Для того чтобы переходный процесс заканчивался за время (здесь ), необходимо, чтобы полюс был равен нулю. Это условие выполняется в том случае, если , т.е. при выборе .

Случай 2: , , где .

Дискретная передаточная функция замкнутой системы имеет вид

.

Аналогично предыдущему случаю получаем, что переходный процесс в такой системе будет заканчиваться за один период дискретности при условии, если

,

т.е. при выборе .

Рассмотренные в примере простейшие импульсные системы отличает возможность достижения конечной длительности переходных процессов только за счет изменения параметров системы без изменения её структуры. В более общем случае для реализации условий (4) требуется введение в импульсную систему дополнительных корректирующих звеньев.

Рассмотрим включение корректирующего цифрового устройства последовательно в канал рассогласования системы.

Предположим, что мы хотим реализовать желаемую передаточную функцию замкнутой цифровой системы, удовлетворяющую условию (4), т.е. имеющую вид

, (6)

где -некоторый многочлен по степени (условие физической реализуемости передаточной функции).

Передаточная функция замкнутой цифровой системы с последовательным дискретным корректирующим устройством определяется выражением

, (7)

где (8)

- передаточная функция исходной (нескорректированной) системы в разомкнутом состоянии.

Подставив в (7) и разрешив это уравнение относительно , получим с учетом (6) необходимую передаточную функцию фильтра коррекции

, (9)

где , - многочлены по степени и соответственно, причем .

Поскольку в числителе дроби (9) степень многочлена равна , а в знаменателе , то из условия физической реализуемости следует, что желаемое число периодов затухания переходных процессов в системе должно удовлетворять условию

. (10)

Минимальное число периодов затухания переходного процесса при неизменяемой части из (10) равно

, (11)

что соответствует , т.е. выбору в числителе (6) многочлена нулевой степени или

. (12)

Подставив в (9), получим соответствующую передаточную функцию фильтра коррекции

. (13)

Свобода выбора коэффициента в (12) может быть использована для придания системе некоторых добавочных полезных свойств. Например, если потребовать чтобы система помимо конечной длительности переходных процессов имела астатизм по управляющему воздействию , т.е.

необходимо, чтобы коэффициент в (12), (13) был выбран равным единице.

Пример 2

Для цифровой системы определить передаточную функцию , обеспечивающую минимальное конечное время затухания переходного процесса и нулевую установившуюся ошибку при скачкообразном входном воздействии,

.

Дискретная передаточная функция исходной (нескорректированной) системы в разомкнутом состоянии равна

, (14)

где , , .

Учитывая, что степени многочленов и в (14) соответственно равны , , из (11) определяем , т.е.передаточную функцию замкнутой скорректированной системы принимаем в виде (с учетом (12), положив ) . Тогда, используя (13), находим искомую передаточную функцию корректирующего дискретного фильтра

, (15)

где обозначено: , .

При исследовании поведения цифровой системы с передаточной функцией дискретного фильтра коррекции, определяемой выражениями (9), (13) или (15) в промежутках между моментами замыкания импульсного элемента может оказаться, что в действительности в ней имют место скрытые колебания выходной величины в промежутках между моментами , , при в (1) равном двум. Появление подобных колебаний физически объясняется тем, что дискретный фильтр

а) б)

коррекции даже после того как исчезли импульсы на его входе (на рис. б) это соответствует ) продолжает формировать импульсы на выходе. Удовлетворение требованию отсутствия скрытых колебаний приводит к увеличению числа периодов затухания переходного процесса.