Решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных

В соответствии с правилом умножения матриц, рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме AХ=В, где

. Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец B, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется столбцом свободных переменных, или просто правой частью системы. Матрица-столбец X, элементами которой являются искомые неизвестные, называется столбцом переменных. Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде AX=B, является матричным уравнением. Пример 1: Записать систему в виде матричного уравнения:

Решение: Матрица системы:

, столбец переменных: X=

, столбец свободных переменных: b=

Ответ: Матричное уравнение имеет вид:

Решением системы называется совокупность n значений неизвестных

, при подстановке которых в систему, все уравнения обращаются в верные тождества. Или решение можно записать в виде столбца

, подстановка которого в матричное уравнение AX=B, обращает его в верное тождество. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной. Если система имеет единственное решение, то система называется определенной, если решений много, то система называется неопределенной. Решение матричных уравнений Рассмотрим системы, число уравнений которых m равно числу переменных n и матрица системы А является невырожденной, т.е. detА

.Если матрица системы невырождена, то у нее существует обратная матрица А

. И тогда для решения матричного уравнения AX=B, необходимо обе части этого уравнения слева умножить на А

Получаем решение системы в виде:

. Пример 2: Решить систему, как матричное уравнение:

. Решение: 1. Запишем систему в матричном виде:

. 2. Для матрицы системы

найдем обратную матрицу:

, 3. Решение системы ищем в виде:

. Ответ:

. Пример 3: Решить матричное уравнение:

. Решение: Для матрицы системы А найдем обратную матрицу:

1. Решение системы ищем в виде:

. Ответ:

. Правило Крамера Справедливо следующее утверждение (формулы Крамера):

Если определитель

=det A матрицы системы Ax=В отличен от нуля, то система имеет единственное решение

определяемое формулами Крамера:

, где i=1,2,., n,

где - определитель матрицы n -го порядка, полученной из матрицы A системы заменой i -го столбца столбцом свободных переменных b.

Применим правило Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Рассмотрим систему: ,

где

- главный определитель;

, - вспомогательные определители. Они получаются заменой в главном определителе колонки коэффициентов при х (D₁) и при y (D₂) колонкой свободных членов.