Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца

Опр: Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка,полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент .

Опр: Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на число (-1) :

Теорема: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Разложение определителя по любой (i-й, где i=1,2,…n) строке:

det

Разложение определителя по любому (j-му, где j=1,2,…n) столбцу:

detA

Пример: Найти минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы А= .

Решение:

Найдем минор: М = =0+0+2-15-8-0=-21;

Найдем алгебраическое дополнение:

Ответ: ,

Пример: Вычислить определитель матрицы А= .

Решение: Вычислим определитель разложением по третьему столбцу:

Ответ: detA=-24

Свойства определителя:

1. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы. det A=detA .

2. При перестановке местами двух параллельных строк или столбцов определитель меняет свой знак на противоположный.

3. Определитель, имеющий две одинаковые, или две пропорциональные строки или столбца равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя, т.е.

5. Определитель, имеющий нулевую строку или столбец равен нулю.

6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число. Это утверждение верно и для столбцов.