Использование признаков сходимости положительных рядов для исследования сходимости знакопеременных рядов

9 10 11 12 13 14 15

Абсолютная сходимость:

Теорема (первый признак сравнения). Даны числовые ряды и , где

Тогда:

1. Если ряд - сходится, то ряд сходится.

2. Если ряд - расходится, то и ряд расходится.

Теорема (второй признак сравнения). Даны числовые ряды , ,

Пусть , тогда ряды сходятся или расходятся одновременно.

Теорема (признак Даламбера). Дан ряд . Пусть , тогда

1. Если - ряд сходится

2. Если - ряд расходится

Теорема (Признак Коши). Дан ряд , . Пусть

тогда:

1. Если ряд сходится;

2. Если ряд расходится.

Теорема (Интегральный признак Коши). Пусть функция определена на , неотрицательна на и монотонно не возрастает на . Тогда ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Условная сходимость:

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

Или в два пункта:

1) Ряд является знакочередующимся. Если а_n >0 при всех n =1,2,3…

2) Члены ряда убывают по модулю: . Причём, убывают монотонно.

Если выполнены оба условия, то ряд сходится.

Если ряд сходится, то

Обратно, если либо не существует, то ряд расходится.

Функциональный ряд и его область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля, радиус и интервал сходимости степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

Область сходимости ряда. Так называют множество точек сходимости функционального ряда, т.е. множество значений аргумента х, для которых ряд (бесконечная сумма)
сходится.