2015-03-22
1283
Один из методов решения дифференциального уравнения заключается в следующем. Считают, что решение имеет вид бесконечного ряда с неизвестными коэффициентами. Этот ряд подставляют в дифференциальное уравнение и таким образом определяют неизвестные коэффициенты. Воспользуемся данным методом для нахождения матрицы перехода. В предположении, что все входные переменные системы равны нулю, уравнение состояния принимает вид
, (1)
а его решение
. (2)
Поскольку искомым является вектор 
, представим его в виде ряда:
, (3)
где все матрицы 
размерности 
считаются неизвестными, а 
- скалярная переменная (время).
Дифференцируя это выражение, получим:
. (4)
Подставим (3) и (4) в (1):
. (5)
Далее выполним следующие операции. Сначала вычислим (5) при 
. Затем продифференцируем (5) и найдём результат при . Ещё раз продифференцируем выражение и подставим . Повторяя эти действия, каждый раз будем получать уравнение относительно неизвестных матриц .
В итоге образуется система уравнений:
(6)
Вычисление (3) при даёт результат 
. Тогда другие матрицы определяются из
уравнений (6):
(7)
Следовательно, матрица перехода, представленная в (3) в виде бесконечного ряда, может быть записана как
, (8)
который сходится для всех конечных и любой 
.
Сравнивая это выражение с разложением в ряд Тейлора скалярной экспоненты
, (9)
приходим к выводу, что матрицу перехода можно представить как экспоненциальную функцию матрицы :
.
