3-х отраслевая экономическая система задана матрицей коэффициентов прямых затрат А и вектором конечной продукции Y:
На пересечении i -й строки и j -го столбца данной матрицы находятся значения величин коэффициентов прямых затрат ,
где xij – поток средств производства из i -й отрасли в j -ю (т.е. количество продукции i -й отрасли, израсходованной на производство продукции j -й отрасли);
xj – валовой объем продукции j -й отрасли (все объемы выражены в стоимостных единицах).
Коэффициент затрат аij показывает, какое количество i -го продукта затрачивается на производство единицы j -го продукта.
Столбец Y – это конечная продукция отраслей, которая выходит из сферы производства (распределяется на фонды непроизводственного потребления и накопления – личного и общественного).
Найти:
1) коэффициенты полных затрат: В = (bij).
Коэффициент полных затрат bij показывает, каким должен быть валовой выпуск i -й отрасли xi для того, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат обеспечить производство единицы конечного продукта j -й отрасли yj.
|
|
2) плановые объемы валовой продукции: Х = (xi) = (x 1, x 2, x 3);
3) величину межотраслевых потоков средств производства, т.е. значения xij, i =1, 2, 3; j = 1, 2, 3;
4) объемы условно-чистой продукции
.
Объем условно-чистой продукции представляет собой сумму чистой продукции и амортизации. В свою очередь, объем чистой продукции представляет собой сумму оплаты труда и чистого дохода отраслей.
5) Составить таблицу МОБ, т.е. результаты расчетов оформить в виде таблицы МОБ:
Потребляющие отрасли (j) Производящие отрасли (i) | I | II | III | конечный продукт yi | валовой продукт xi |
I | x 11 | x 12 | x 13 | y 1 | x 1 |
II | x 21 | x 22 | x 23 | y 2 | x 2 |
III | x 31 | x 32 | x 33 | y 3 | x 3 |
условно-чистый продукт zj | z 1 | z 2 | z 3 | ||
валовой продукт xj | x 1 | x 2 | x 3 |
6) матрицу коэффициентов косвенных затрат С =(сij) = B - A - E.
Косвенные затраты относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства (или другие ингредиенты, входящие в данный продукт). Например, на изготовление трактора в виде прямых затрат расходуется чугун, сталь и т.д., но для производства стали также нужен чугун. Затраты этого чугуна являются косвенными.
Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстве данного продукта. Они не отражают сложных взаимосвязей, в частности, обратных связей.
7) По заданному вектору увеличения выпуска конечной продукции
Δ Y =(Δ y 1,Δ y 2,Δ y 3)=(20, 10, 5) определить изменение плана производства валовой продукции Δ X.
Результаты вычислений п.п. 1-4 представить в форме таблицы МОБ.
|
|
Решение
Для решения задачи используем уравнения МОБ
в развернутом виде:
в матричном виде: X = (E - A)-1 · Y = B Y.
1) Находим матрицу полных затрат В = (E - A)-1:
Обращаем матрицу E - A, т.е. найдем В = (E - A)-1. Для этого:
Вычисляем определитель матрицы B:
Так как Δ≠0, то существует матрица В = (E - A)-1, обратная заданной матрице E - A.
Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы K = E - A:
Составляем матрицу из алгебраических дополнений:
Транспонируем эту матрицу (получим приведенную матрицу) и делим ее на определитель Δ=0,511; в результате получаем обратную матрицу В = (E - A)-1:
Рассмотрим другой способ нахождения обратной матрицы В = (E - A)-1, присоединив к матрице E - A единичную матрицу и выполнив матричные преобразования:
Таким образом, матрица коэффициентов полных затрат
2) Находим объемы производства отраслей (валовая продукция):
Таким образом, плановые объемы валовой продукции трех отраслей, необходимые для обеспечения заданного уровня конечной продукции, равны:
х 1=102,197; х 2=41,047; х 3=26,383.
3) Рассчитываем значения межотраслевых потоков xij = aij · xj:
x 11=0,3·102,2=30,7; x 12=0,25·41,0=10,2; x 13=0,2·26,4=5,3;
x 21=0,15·102,2=15,3; x 22=0,12·41,0=4,9; x 23=0,03·26,4=0,8;
x 31=0,1·102,2=10,2; x 32=0,05·41,0=2,1; x 33=0,08·26,4=2,1.
4) Результаты вычислений представим в форме МОБ. Величина условно-чистой продукции zj определяется как разница между валовой продукцией отрасли xj и суммой межотраслевых потоков в каждом столбце:
.
Потребляющие отрасли (j) Производящие отрасли (i) | Конечный продукт yi | Валовой продукт xi | |||
30,7 | 10,2 | 5,3 | 102,2 | ||
15,3 | 4,9 | 0,8 | 41,0 | ||
10,2 | 2,1 | 2,1 | 26,4 | ||
Условно-чистый продукт zj | 46,0 | 23,8 | 18,2 | ||
Валовой продукт xj | 102,2 | 41,0 | 26,4 | 169,6 |
Необходимо проверить выполнение условия в виде равенства суммарного конечного продукта и суммарной условно-чистой продукции:
Таким образом, на основе заданных матриц по уровню конечного продукта Y и коэффициентов прямых затрат A получен сбалансированный план общего производства продукции и ее распределения в качестве средств производства между отраслями и в качестве продукции для конечного использования.
5) Найдем матрицу косвенных затрат по формуле: С = (сij) = B - A - E = =
6) Определяем изменение плана Δ X, которое потребуется при увеличении выпуска конечной продукции 1-й отрасли на 20 ед., 2-й – на 10 ед. и 3-й – на 5 ед.
Следовательно, потребуется увеличить выпуск валовой продукции 1-й отрасли на Δ x 1=38,1 ед., 2-й отрасли – на Δ x 2=18,2 ед., 3-й отрасли – на 10,6 ед.