Решение типовых задач контрольной работы

Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных

1.1. Найти частные производные функций:

а)

Находим:

б)

Находим:

1.2. Найти дифференциал функции:

Полный дифференциал определяется как:

Найдем частные производные:

Тогда полный дифференциал будет равен:

Приложения частных производных

2.1. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке .

Решение. Проверим, принадлежит ли точка М поверхности:

следовательно, точка М принадлежит поверхности.

Уравнение касательной плоскости имеет вид:

Найдем значения частных производных в точке М:

и подставим в уравнение касательной плоскости:

или

Уравнение нормали берем в виде:

или или

2.2. Найти градиент и производную по направлению функции в точке

Решение. Градиент функции равен:

Найдем частные производные:

и их значения в точке :

.

Тогда градиент в точке А равен:

Производная функции z в направлении вектора вычисляется по формуле:

Найдем направляющие косинусы вектора :

Следовательно,

2.3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в замкнутой области D, заданной неравенствами:

Решение.

а) Найдем частные производные и приравняем их к нулю (необходимые условия экстремума):

Стационарная точка лежит в замкнутой области, так как:

Найдем вторые частные производные:

и их значения в стационарной точке М (2;2):

Так как , то в точке М функция имеет экстремум, а именно минимум, так как

б) Построим замкнутую область ОАВ (рис. 1)

Рис.1

Рассмотрим контур (прямая ОА). Имеем функцию одной переменной: Исследуем ее на экстремум:

Из имеем или . И так как

то имеем минимум и

Далее рассмотрим контур или (прямая АВ). Имеем:

Найдем и из имеем или .

Так как то при имеем минимум и

На контуре или (прямая ОВ) имеем или Находим производную приравниваем ее к нулю или , отсюда

Так как , то в точке имеем минимум и

Найдем значение функции z в точках О (0;0), А (0;6) и В (4;2):

Из найденных значений выбираем наименьшее и наибольшее. Получаем, что