Свойства операций над множествами. Из определений объединения и пересечения множеств следует, что операции пересечения и объединения обладают следующими свойствами

Из определений объединения и пересечения множеств следует, что операции пересечения и объединения обладают следующими свойствами:

1. Коммутативность

A È B=B È A
A Ç B=B Ç A

2. Ассоциативность

(A È B) È C=A È (B È C)
(A Ç B) Ç C= A Ç (B Ç C)

3. Дистрибутивность

(A È B) Ç C = (A Ç C) È (B Ç C)
(A Ç B) È C= (A È C) Ç (B È C)

A È A=A, A Ç A=A
A È Æ = A, A Ç Æ= Æ

4. Законы де Моргана (законы двойственности)

1) A È B= A Ç B
2) A Ç B= A È B

Доказательство данных свойств проводится на основе определения равенства двух множеств.

Заметим, что закон ассоциативности при комбинировании операций объединения и вычитания, вообще говоря, не имеет места.

Пример 5. A = {1; 2; 3; 4}
B = {3; 4; 5; 6}
A \ B= {1; 2}
(A \ B) È B= {1; 2; 3; 4; 5; 6} ¹ A
Но (A \ B) È B= A Û B Ì A