Примеры решения задач на множества

1. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?

Решение:

Обозначим:

U – множество всех туристов (универсальное множество);

А – множество туристов, знающих английский язык;

В – множество туристов, знающих французский язык.

Проиллюстрируем графически:

Необходимо найти количество туристов, не знающих ни одного языка, т.е. количество элементов множества D = U \ (A U B) (на рисунке отмечено серым).

Дано:

m (U) = 100 (всего туристов);

m(A) = 70 (знают английский);

m(B) = 45 (знают французский);

m(AIB) = 23 (знают оба языка).

Найти:

m(D) = m(U) -m(AUB)

Количество туристов, знающих хотя бы один язык:

m (A U B) = m (A) = m (B) - m (A I B) = 70 + 45 - 23 = 92;

Количество туристов, не знающих ни одного языка:

m (D) = m (U) - m (A U B) = 100 - 92 = 8

Ответ: 8 человек.

2. В олимпиаде по иностранному языку принимало участие 40 студентов, им было предложено ответить на один вопрос по лексикологии, один по страноведению и один по стилистике.

Результаты проверки ответов представлены в таблице:

Известно также, что трое не дали правильных ответов ни на один вопрос. Сколько студентов правильно ответили на все три вопроса? Сколько студентов правильно ответили ровно на два вопроса?

Решение задачи:

Обозначим:

U – универсальное множество, т.е. множество всех студентов,

A – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по лексикологии,

B – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по страноведению,

С – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по стилистике,

D - множество студентов, не давших ни одного правильного ответа.

Проиллюстрируем графически:

Дано: m(U) = 40 (чел.) m(D) = 3 (чел.)

m(A) = 20 (чел.) m(AÇB) = 7 (чел.)

m(B) = 18 (чел.) m(AÇC) = 8 (чел.)

m(C) = 18 (чел.) m(BÇC) = 9 (чел.)

Найти:

1) m(AÇBÇC) -?

2) сколько студентов ответили ровно на 2 вопроса?

Решение:

1) Пересечение трех множеств разбивает универсальное множество на классы, т.е. на попарно непересекающиеся непустые подмножества. Обозначим число элементов в каждом классе маленькими латинскими буквами (см. рисунок). Можно проверить (и доказать!), что

m(AÈBÈC) = m(A) + m(B) + m(C) – m(AÇB) – m(AÇC) – m(BÇC) + m(AÇBÇC)

Очевидно, что m(AÈBÈC) = m(U) – m(D) = 40 – 3 = 37

Подставив в формулу известные данные, получим:

37 = 20 + 18 + 18 – 7 – 8 – 9 + m(AÇBÇC) è m(AÇBÇC) = 5

Итак, на три вопроса ответили 5 студентов

2) Чтобы найти количество студентов, правильно ответивших ровно на два вопроса, необходимо найти и сложить d, e, f:

d + e + f = (8 – m(AÇBÇC)) + (7 – m(AÇBÇC)) + (9 – m(AÇBÇC)) = 3 + 2 + 4 = 9

Ответ: 1) 5; 2) 9