Пример выполнения задания №6

Методом прямоугольников приближенно вычислить интеграл:

используя четыре узла на отрезке интегрирования, в результате оставить только верные знаки. Методом Рунге оценить погрешность результата и методом Рунге-Ричардсона провести уточнение вычисленного значения интеграла.

1. Определяем координаты узлов x_i (i=0,...,n) при n=4. Для этого разбиваем отрезок [1,1.8] на четыре отрезка равной длины для получения равномерной сетки с шагом h. Так как нижний предел интегрирования a=1, а верхний предел b=1,8; то получаем: h=(b-a)/n=0,2. Имеем пять узлов x_i:

Вычисляем узлы x_i:

x₁=1,1; x₂=1,3; x₃=1,5; x₄=1,7.

При шаге h/2=0,1 соответственно имеем восемь отрезков с узлами:

x₁=1,05; x₂=1,15; x₃=1,25; x₄=1,35; x₅=1,45; x₆=1,55; x₇=1,65; x₈=1,75.

2. Количество знаков, которые необходимо учитывать при расчетах определяется погрешностью формулы. Оценим погрешность формулы прямоугольников, полагая что . Для оценки имеем следующее соотношение:

Так как расчеты должны проводиться с большей точностью чем погрешность формулы, то для оценки погрешности используем шаг h/2, так как при шаге h погрешность будет больше. Имеем

Следовательно, в расчетах необходимо учитывать не менее четырех знаков после запятой.

3. Используя формулу прямоугольников для шагаh=0,2и шага h/2=0,1, соответственно получаем:

4. По формуле Рунге оцениваем главную часть погрешности:

Для абсолютной погрешности вычисления интеграла сшагом h можем записать: .

5. Для уточнения приближенного значения интеграла используем метод Ричардсона: