Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

V. Системы линейных алгебраических уравнений




1. Основные определения. Система уравнений вида:

(5.1)

или в сокращенной записи:

(5.2)

называется линейной алгебраической системой из n уравнений с n-неизвестными xi (i=1,...,n). В матричной форме она записывается следующим образом:

(5.3)

где A - квадратная матрица, и - векторы столбцы вида:

(5.4)

Определителем ( детерминантом ) матрицы А порядка n называется число Dn (detA) равное:

(5.6)

где - определитель матрицы порядка (n-1), образованной из матрицы A вычеркиванием первой строки и i-ого столбца, при этом определитель матрицы первого порядка, которая состоит всего из одного элемента, например aij, равен самому этому элементу D1=aij.

Для существования единственности решения системы линейных уравнений необходимо и достаточно выполнения условия det A¹0.

2. Прямые методы решения.Методы решения систем линейных уравнений делятся на две группы - прямые (точные) и итерационные (приближенные). Наиболее распространенными являются следующие прямые методы:

а) правила Крамера. Решение системы записывается в виде:

(5.7)

где

(5.8)

б) метод Гаусса. Этот метод основан на приведении методом исключения системы линейных уравнений к треугольному виду (прямой ход ):

(5.9)

а затем решение этой системы начиная с xn, далее xn-1 и т.д. до x1 (обратный ход).

Если система сразу сводится к диагональному виду, то такой метод называется методом Жордана-Гаусса.

Для уменьшения погрешности округления при сведении матрицы А к треугольному виду выбирается максимальный элемент в столбце или в строке и с помощью перестановок он делает главным (схема частичного выбора). Если главный элемент выбирается во всей матрице, то схема носит название глобального выбора.

Алгоритм решения системы из n уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцам выглядит следующим образом.

Прямойход.На k шаге выбирается главный элемент в k столбце. Пусть это будет элемент в j -ой строке , k£j£n. Верхний индекс в скобках указывает, что коэффициенты уравнения получены после (k-1) шага исключения.

Перестановкой j и и k строк делает этот элемент диагональным.

(5.10)

Далее производим исключение xk из уравнений с номерами k+1,...,n с помощью соотношения:

(5.11)

После n-1 шагов приходим к системе уравнений с треугольной матрицей.

Обратный ход.

Из последнего уравнения находим . Далее определяем , а затем и т.д. до x1 c помощью соотношения:

(5.12)

3. Обратная матрица.По определению матрица A-1 является обратной матрице A если выполняется соотношение: А-1·А=Е, где Е - единичная матрица:

(5.13)

Так как E×A=A×E, то A×A-1×A=A×E=E×A. Отсюда A×A-1=E. Матрица E состоит из элементов eij=dij, где dij - символ Кронекера:




(5.14)

Используя правило умножения матриц, имеем:

(5.15)

где akj и - элементы прямой и обратной матриц. Из этого уравнения следует, что для нахождения элементов j - го столбца обратной матрицы , k=1,2,...,n; необходимо решить линейную систему:

(5.16)

Для нахождения обратной матрицы (обращения матрицы) нет необходимости n раз решать данную систему с разными правыми частями. Правая часть этой системы записывается не в виде одного столбца , а в виде набора из n столбцов , j=1,2,...n; которые образуют единичную матрицу Е (bij=eij=dij). Методом Жордана-Гаусса матрица A сводится к диагональному виду, при этом единичная матрица в правой части будет преобразована в обратную матрицу A-1.

Варианты задания №7

Методом Гаусса решить следующую систему уравнений: Ax=B. Расчеты проводить с четырьмя знаками после запятой.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.


8.

9.

10.

11.

12.

13.


14.

15.

16.

17.

18.

19.


20.

21.

22.

23.

24.

25.


26.

27.

28.

29.

30.

31.


32.

33.

34.

35.

36.

37.


38.

39.

40.





Дата добавления: 2015-03-22; просмотров: 923; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 9937 - | 7458 - или читать все...

Читайте также:

 

18.208.159.25 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.01 сек.