Относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные

Рассмотренные выше уравнения, интегрируемые в квадратурах, были уравнениями, разрешенными относительно производной, либо их можно было представить в таком виде. В данном параграфе будет рассмотрен метод решения некоторых простейших уравнений, не разрешенных относительно производной, то есть уравнений вида

(1)

Иногда это уравнение удается разрешить относительно тогда получаем одно или несколько уравнений вида

. (2)

В этом случае интегрируя эти, уже разрешенные относительно производной, уравнения, найдем общее решение исходного уравнения (1).

Пример 10. Проинтегрировать уравнение

(3)

▲ Используя теорему Виета, разрешим это квадратное уравнение относительно : и . Интегрируя каждое из полученных уравнений, получим соответственно следующие общие интегралы:

Оба семейства решений удовлетворяют исходному уравнению. Общий интеграл уравнения можно записать в виде одного соотношения

Изобразим картину расположения интегральных кривых уравнения (3) на плоскости (рис.7). Заметим, что через каждую точку плоскости проходят две интегральные кривые по разным направлениям. Это объясняется тем, что дифференциальное уравнение, являясь уравнением второй степени относительно , задает в каждой точке плоскости два направления. ▲