Но разрешенные относительно аргумента или функции

Однако, не всегда уравнение (1) можно разрешить относительно производной, таковы, например, уравнения В некоторых случаях к уравнениям вида (1) применим своеобразный метод решения, который называется методом введения параметра. Этот метод применяется, если уравнение (1) легко разрешается относительно переменной или , то есть оно представимо в виде или

Рассмотрим уравнение вида

(4)

которое является уравнением, неразрешенным относительно производной, но разрешенным относительно искомой функции.

Решение уравнения. Данное уравнение интегрируется методом введения параметра. Обозначим через . Тогда, подставляя в (4), получим

(5)

Дифференцируем (5) по , учитывая, что зависит от как непосредствен-

но, так и через промежуточную переменную :

Заменяем через

Разрешая это уравнение относительно , получим уравнение

(6)

Дифференциальное уравнение (6) является уже уравнением, разрешенным относительно производной. Предположим, что уравнение (6) интегрируется в квадратурах и его общий интеграл есть

(7)

Могут представиться два случая:

1) равенство (7) разрешимо относительно , то есть Тогда, подставляя выражение для в (5), получим общее решение уравнения (4) в явном виде

; (8)

2) равенство (7) разрешимо относительно , то есть Подставляя значение в (5), получим как функцию параметра :

(9)

В итоге получим общее решение уравнения (4) в параметрическом виде ( – параметр):

Возможность интегрирования уравнения (4) в квадратурах зависит от того будет ли уравнение (6) интегрироваться в квадратурах. ▲

Замечание. Не следует путать метод введения параметра с методом замены переменной, то есть нельзя после нахождения общего интеграла (7) вместо параметра в (7) подставлять и далее находить интегрированием, так как равенство (7) есть общий интеграл уравнения (6), которое получено из исходного уравнения (4) не заменой, а дифференцированием его.

Аналогичными рассуждениями, используя метод введения параметра, решаются уравнения: