Метод p - дискриминанта

Приведем теорему существования и единственности решения для уравнения, не разрешенного относительно производной.

Теорема. Существует единственное решение уравнения

определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее условию , для которого где – один из действительных корней уравнения , если в замкнутой окрестности точки

функция удовлетворяет условиям:

1) непрерывна по всем аргументам;

2) производная существует и отлична от нуля;

3) существует ограниченная по модулю производная .

В точках особого решения должно быть нарушено по крайней мере одно из условий этой теоремы. В дифференциальных уравнениях, встречающихся в прикладных задачах, условия 1) и 3) обычно выполняются, но условие часто нарушается. Итак, в точках особого решения должны одновременно выполняться два условия:

и .

Обычно заменяют и рассматривают систему уравнений

(2)

Исключая из этих уравнений , получаем уравнение

. (3)

Определение. Множество точек (кривая на плоскости), определяемое уравнением , называется - дискриминантным множеством точек ( - дискриминантной кривой) уравнения (1).

Дискриминантная кривая может состоять из одной или нескольких кри-

вых. Если уравнение (1) имеет особое решение, то оно находится среди этих - дискриминантных кривых.

Заметим, что в точках, удовлетворяющих уравнению (3), не обязательно нарушается единственность решения уравнения (1). Это следует из того, что условия теоремы являются только достаточными для единственности решения, но не необходимыми и, следовательно, нарушение какого - нибудь условия теоремы дает только необходимые условия существования особого решения. В - дискриминантное множество точек, кроме особого решения, может входить множество кратных точек интегральных кривых, таких как точки заострения, узловые точки, точки соприкосновения и т.д., которые, вообще говоря, могут и не быть интегральными кривыми. Например, геометрическое место узловых точек интегральных кривых не может являться интегральной кривой, так как в узловых точках направление касательной к интегральной кривой не совпадает с направлением касательной к кривой, состоящей из узловых точек.

Геометрическое место точек заострения может являться интегральной кривой и в этом случае оно является особым решением.

Из сказанного выше следует, что для нахождения особых решений уравнения (1) требуется:

1) найти - дискриминантные кривые уравнения (1);

2) выяснить путем непосредственной подстановки в уравнение (1), есть ли среди ветвей - дискриминантной кривой интегральные кривые; если среди ветвей - дискриминантной кривой нет интегральных кривых, то делаем вывод, что уравнение (1) не имеет особых решений; если какая - нибудь из ветвей является интегральной кривой, то переходим к следующему пункту;

3) для отобранных решений проверить выполнение определения особого решения.

Для того чтобы интегральная кривая была особой, то

есть в каждой своей точке она касалась некоторой кривой из семейства интегральных кривых , требуется, чтобы для выполнялись условия

(4)

Если для каждого существует хотя бы одно решение этой системы, то решение является особым решением уравнения (1).

Пример 17. Выяснить, имеют ли особые решения уравнения:

а) б) в) .

▲ а) - дискриминантная кривая определяется системой уравнений

Исключая из системы, получаем - дискриминантную кривую .

Непосредственной подстановкой в уравнение, убеждаемся, что не является решением уравнения. Следовательно, особых решений нет.

б) Составим систему уравнений, определяющую - дискриминантную кривую

Исключая из системы, получаем . Непосредственной подстановкой в

уравнение убеждаемся, что есть решение уравнения.

Найдем общее решение уравнения:

, , , .

Ни одна кривая из семейства интегральных кривых не пересекает ось . Отсюда следует, что в точках интегральной кривой свойство единственности решения не нарушается. Следовательно, уравнение не имеет особых решений. Решение – одно из частных решений уравнения, которое было потеряно при интегрировании.

в) - дискриминантные кривые находим из системы

Исключая из этой системы, получаем, что – дискриминантная кривая., причем, она является решением уравнения (см. пр. 11). Проверим, является ли это решение особым, то есть касаются ли его в каждой точке другие решения. В пункте 4.1 (пр. 11) было найдено, что семейство интегральных кривых задается формулой

Рассмотрим на кривой произвольную точку с абсциссой . Напишем условие касания в точке с абсциссой интегральной кривой с другими интегральными кривыми :

Эта система совместна для любого при . Действительно, из второго уравнения системы . Подставляя это значение в первое уравнение, получаем . Это равенство справедливо для всех . Значит, при каждом интегральная кривая в точке с абсциссой касается одной из кривых семейства , а именно той кривой, для которой . Следовательно, решение – особое.

Изобразите особое решение и одну из интегральных кривых, соответствующих значению , которая касается особого решения в точке . ▲

Метод - дискриминанта

В этом пункте понятие особого решения уравнения (1) связывается с по-

нятием огибающей семейства интегральных кривых.

Определение. Огибающей семейства линий называется линия, которая в каждой своей точке касается какой - нибудь из линий семейства, причем в различных своих точках она касается разных линий семейства.

Пусть общий интеграл уравнения (1) есть

(5)

и это семейство интегральных кривых дифференциального уравнения имеет

огибающую. Легко убедиться, что огибающая семейства (5) является особым решением уравнения. Действительно, в точках огибающей значения совпадают со значениями для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке . и, так как огибающая вся состоит из точек касания, следовательно, в каждой точке огибающей значение удовлетворяет уравнению (1), то есть огибающая является интегральной кривой. В каждой точке огибающей нарушена единственность, так как через точки огибающей по одному направлению проходят по крайней мере две интегральные кривые: огибающая и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства (5). Следовательно, огибающая является особой интегральной кривой. Таким образом, нахождение особого решения уравнения (1) сводится к нахождению огибающей семейства интегральных кривых (5).

Из дифференциальной геометрии известно, что для нахождения огибающей семейства кривых , зависящих от одного параметра, надо уравнение семейства продифференцировать по параметру и исключить из системы:

(6)

Исключая из (6), получим уравнение

, (7),

которое определяет - дискриминантную кривую. Кроме огибающей она может содержать в себе еще геометрическое место точек, являющихся особыми для интегральных кривых (узловые точки, точки заострения и др.).

Таким образом, чтобы найти особое решение с помощью - дискриминанта, надо найти - дискриминантную кривую , определяемую си-

стемой (6). Ветвь этой кривой, являющаяся решением уравнения (1), будет

особым решением.

Пример 18. Найти особое решение уравнения

▲ Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Находим - дискриминант:

- дискриминантная кривая состоит из одной линии . Функция является решением дифференциального уравнения. Следовательно, это есть особое решение уравнения. Интересно заметить, что прямая , представляя геометрическое место точек возврата интегральных кривых, является вместе с тем и огибающей этих кривых (рис.11). ▲