2015-03-22
672
Эта СС используется в нашей повседневной жизни, здесь она приводится для сравнения с другими СС. Причина широкого распространения именно десятичной системы счисления понятна – она происходит от унарной системы с пальцами рук в качестве палочек. Основание системы р = 10, набор цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Число представляет собой краткую запись многочлена, куда входят степени некоторого другого числа – основания СС. Согласно (2.2) формула приобретет вид:
| А10 = an 10n + an-1 10n-1 + an-2 10n-2 + … + a1 101 + a0 100 + a-1 10-1 + a-2 10-2 + a-m 10-m |
Примеры.
1. Целое положительное число 121 по формуле (2.1) записывается так:
1 • 102 +2 • 101 + 1 • 100.
2. Смешанное число 809,103 по формуле (2.2)имеет вид:
8 • 102 +0 • 101 +9 • 100 + 1 • 10-1 +0 • 10-2 +3 • 10-3.
3. Дробь 0,30917 по формуле (2.3) принимает вид:
3 • 10-1 +0 • 10-2 +9 • 10-3 + 1 • 10-4 +7 • 10-5.
Десятичное число представляет собой сумму степеней десяти с соответствующими коэффициентами.
| 10n | n | 10-n |
| 1,0 | ||
| 0.1 | ||
| 0.01 | ||
| 1 000 | 0.001 | |
| 10 000 | 0.000 1 | |
| 100 000 | 0.000 01 | |
| 1 000 000 | 0.000 001 | |
| 10 000 000 | 0.000 000 1 | |
| 100 000 000 | 0.000 000 01 | |
| 1 000 000 000 | 0.000 000 001 | |
| 10 000 000 000 | 0.000 000 000 1 |
Таблица 2.1 -Степени десяти
2.2.2 Двоичная система счисления.
В этой системе счисления для представления любого разряда двоичного числа достаточно иметь один физический элемент только с двумя резко различимыми устойчивыми состояниями, одно из которых изображает 1, другое — 0 (это, в свою очередь, обеспечивает высокую надежность представления чисел при минимальной сложности оборудования), поэтому двоичная система счисления приобрела широкое распространение для представления и обработки информации в ЭВМ.
Она имеет набор цифр {0,1}, т.е. основание системы р = 2.
В общем виде, используя формулу (2.2), двоичное число можно представить выражением:
| А2 = an 2n + an-1 2n-1 + an-2 2n-2 + … + a1 21 + a0 20 + a-1 2-1 + a-2 2-2 + a-m 2-m |
Примеры:
1. Целое положительное число 10001012 по формуле (2.1) можно записать как:
10001012 = 1 • 26 + 0 • 25 + 0 • 24 + 0 • 23 + 1 • 22 + 0 • 21 + 1 • 20.
2. Смешанное число 10111, 011 имеет вид:
10111, 0112 = 1 • 24 +0 • 23 + 1 • 22 + 1 • 21 + 1 • 20 +0 • 2-1 + 1 • 2-2 + 1 • 2-3.
В табл. 2.2 приведены целые двоичные числа и их десятичные эквиваленты от 0 до 31. Кроме того, полезно помнить степени двойки, приведенные в табл. 2.3.
Таблица 2.2 -Целые двоичные числа
и их десятичные эквиваленты Таблица 2.3 -Степени двойки
| Десятичное число | Двоичное число | Десятичное число | Двоичное число | 2n | n | 2-n | |
| 0000 0000 | 0001 0000 | 1,0 | |||||
| 0000 0001 | 0001 0001 | 0.5 | |||||
| 0000 0010 | 0001 0010 | 0.25 | |||||
| 0000 0011 | 0001 0011 | 0.125 | |||||
| 0000 0100 | 0001 0100 | 0.062 5 | |||||
| 0000 0101 | 0001 0101 | 0.031 25 | |||||
| 0000 0110 | 0001 0110 | 0.015 625 | |||||
| 0000 0111 | 0001 0111 | 0.007 812 5 | |||||
| 0000 1000 | 0001 1000 | 0.003 906 25 | |||||
| 0000 1001 | 0001 1001 | 0.001 953 125 | |||||
| 0000 1010 | 0001 1010 | 0.000 976 562 5 | |||||
| 0000 1011 | 0001 1011 | 0. 000 488 281 25 | |||||
| 0000 1100 | 0001 1100 | 0.000 244 140 625 | |||||
| 0000 1101 | 0001 1101 | 0.000 122 070 312 5 | |||||
| 0000 1110 | 0001 1110 | 0.000 061 035 156 25 | |||||
| 0000 1111 | 0001 1111 | 0.000 030 517 578 125 |
К достоинствам двоичной системы относятся:
· простота выполнения арифметических и логических операций и, как следствие, простота устройств, реализующих эти операции;
· возможность использования аппарата алгебры логики для анализа и синтеза операционных устройств.
Неудобством двоичной системы счисления является ее громоздкость по сравнению с десятичной для использования человеком и необходимость преобразования десятичных чисел в двоичные и наоборот. Однако учитывая то обстоятельство, что многие математические задачи требуют сравнительно небольшого количества исходных данных по сравнению с объемом вычислений, этот недостаток становится несущественным.
