Примеры

1. Целое положительное число F7F8140₍₁₆₎ записывается следующим образом:

F7F8140₍₁₆₎ = F • 16⁶ +7 • 16⁵ + F • 16⁴ +8 • 16³ + 1 • 16² +4•16¹ +0 •16⁰.

2. Смешанное число А0,5Е₍₁₆₎ имеет вид: А0, 5Е₍₁₆₎ = 10 • 16¹ + 0 • 16⁰ + 5 •16^-1 + 14• 16^-2.

3. Дробное число 0,ABC имеет вид: 0,ABC₁₆ = 10 • 16^-1 + 11 • 16^-2 + 12 • 16^-3.

Шестнадцатеричные цифры и их десятичные эквиваленты даны в табл. 2.4.

Полезно помнить некоторые степени шестнадцати –табл.2.5

Таблица 2.4- Шестнадцатеричные цифры и их эквиваленты		Таблица 2.5 - Степени числа16
Основание систем счисления
						16n	n	16-n
				0001 0000					1.0
				0001 0001					0.0625
				0001 0010					0.00390625
				0001 0011					0.000244140625
				0001 0100					0.0000152587890625
				0001 0101					0.00000095367431640625
				0001 0110					0,0000000059604644775390625
				0001 0111
				0001 1000
				0001 1001
		A		0001 1010	1A
		B		0001 1011	1B
		C		0001 1100	1C
		D		0001 1101	1D
		E		0001 1110	1E
		F		0001 1111	1F

Преобразование шестнадцатеричного числа в двоичное происходит так:

7F8₁₆ = 0111 1111 1000₂,

7 F 8

Обратное преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное происходит следующим образом. Двоичное число разбивается на тетрады (4 разряда) и каждая тетрада заменяется эквивалентом 16-ричного числа.

Число 0111 1111 1000₍₂₎ = 7F8₍₁₆₎ .

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления применяется для выполнения вспомогательных функций, кодирования адресов и команд, сокращения записи числовой информации и обеспечивания простоты перевода в двоичную систему, поскольку любая восьмеричная цифра легко заменяется двоичным трехразрядным числом –триадой. Для этого сначала составляют программу в восьмеричной системе, а затем переводят её в двоичную систему, которую и вводят в вычислительную машину.

Данная СС имеет набор из 8 цифр { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, т.е. основание системы р = 8.

По формуле (2.2) восьмеричное число можно представить так:

А8 = an 8n + an-1 8n-1 + an-2 8n-2 + … + a1 81 + a0 80 + a-1 8-1 + a-2 8-2 + a-m 8-m

Примеры.

1. Целое положительное число 740₍₈₎ записывается следующим образом:

740₍₈₎ = 7 • 8² +4•8¹ +0 •8°.

2. Смешанное число 10,7₍₈₎ имеет вид: 0,7₍₈₎ = 1 • 8¹ + 0 • 8° + 7 •8^-1.

3. Дробное число 0,263 имеет вид: 0,263₍₈₎ = 2 • 8^-1 + 6 • 8^-2 + 3 • 8^-3.

Восьмеричные цифры и их десятичные эквиваленты даны в табл. 2.6.

Полезно помнить некоторые степени восьми –табл.2.7

Таблица 2.6- Восьмеричные цифры и их эквиваленты		Таблица 2.7-Степени восьми
Основание системы счисления
							8n	n	8-n
	000 000			010 000					1.0
	000 001			010 001					0.015625
	000 010			010 010					0.001953125
	000 011			010 011					0.000244140625
	000 100			010 100					0.000030517578125
	000 101			010 101
	000 110			010 110
	000 111			010 111
	001 000			011 000
	001 001			011 001
	001 010			011 010
	001 011			011 011
	001 100			011 100
	001 101			011 101
	001 110			011 110
	001 111			011 111

Преобразование восьмеричного числа в двоичное происходит следующим образом: каждая восьмеричная цифра заменяется её трехразрядным (триада) двоичным эквивалентом.

Пример: 740₈ = 111 100 000₂,

7 4 0

Обратное преобразование двоичного числа в восьмеричное происходит в обратной последовательности: двоичное число разбивается на триады (3 разряда двоичного числа) и каждая триада заменяется эквивалентом 8-ричного числа.

Пример: Число 011 111 101 000₍₂₎ = 3750₍₈₎

Контрольные вопросы.

1. Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства СС.

2. Какие символы используются для записи чисел в двоичной СС? Восьмеричной? Шестнадцатеричной?

3. Чему равны веса разрядов слева от точки, разделяющих целую и дробную части, в разных СС.

4. Чему равны веса разрядов справа от точки, разделяющих целую и дробную части, в разных СС.

5. Преобразуйте следующие десятичные числа в двоичные: 0, 1, 18, 25, 128.

6. Преобразуйте следующие десятичные числа в восьмеричные: 0, 1, 18, 25, 128.

7. Преобразуйте следующие десятичные числа в шестнадцатеричные: 0, 1, 18, 25, 128.

8. Дешифрируйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010, 1011, 11101, 0111, 0101.

9. Дешифрируйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные: 777, 375, 111, 1015.

10. Дешифрируйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их в десятичные: 15, А6, 1F5, 63.

2.3 Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в другую

В процессе тестирования и отладки программ программисту часто требуется перевести число из одной системы счисления в другую. Рас­смотрим сначала перевод целых чисел в удобную систему счисления. Для человека такой системой счисления является, привычная для него, деся­тичная СС, а для машины — двоичная.