2015-03-22
697
Ранее были рассмотрены простейшие необходимые условия экстремума – условие Эйлера и Лежандра. С помощью этих условий можно успешно решить ряд технических задач, хотя для полной уверенности в результате нужен ещё анализ более сложных достаточных условий. Без анализа достаточных условий можно лишь заключить, что кривые, найденные из уравнения Эйлера, являются «подозрительными» на экстремум. Однако непосредственный анализ физического смысла реальной технической задачи часто позволяет сделать вывод, что подозрительная кривая действительно реализует экстремум, который мы ищем.
В качестве примера приложения методов вариационного исчисления к решению конкретных технических задач рассмотрим проблему выбора наилучших диаграмм тока и скорости для электроприводов постоянного тока.
Рассмотрим электропривод поворота платформы экскаватора. Задачей электропривода является создание определённого углового перемещения платформы, обеспечивающего движение ковша между местом выемки и местом выгрузки грунта. В начальный и конечный моменты времени угловая скорость платформы должна быть равна нулю, в остальном диаграммы тока и скорости вращения двигателя в значительной мере произвольны, лишь бы обеспечивался возможно быстрый поворот платформы и в то же время не происходило перегрева двигателя. Естественно предположить, что существуют наилучшие (оптимальные) диаграммы тока и скорости, в наибольшей мере удовлетворяющие поставленным условиям.
|
|
|
Рассмотрим случай, когда платформа экскаватора приводится в движение электродвигателем постоянного тока.
Напишем основное уравнение электропривода − уравнение равновесия моментов на валу:
(9.71)
где I – ток якоря электродвигателя; Фдв– полезный результирующий магнитный поток; С ф – постоянный коэффициент; J – момент инерции электродвигателя и исполнительного механизма, приведённый к валу электродвигателя; ω – угловая частота вращения якоря; Мc – момент сопротивления.
Удобно перейти к относительным единицам, приняв за единицу тока якоря, магнитного потока, скорости и момента их номинальные значения, а за единицу времени – механическую постоянную времени
(9.72)
численно равную времени разгона привода от нуля до номинальной частоты вращения под действием номинального вращающего момента. Поскольку в каталогах на электрооборудование приводится обычно не момент инерции, а маховой момент 
, то формулу (9.72) удобно записать в виде
(9.73)
где Т м − механическая постоянная времени, с; − маховой момент электропривода, приведённый к валу электродвигателя, кг·м2; n н − номинальная скорость вращения, об/мин; Мн − номинальный момент электродвигателя в Н·м. Формула (9.73) служит для перехода от относительных единиц обратно к абсолютным.
|
|
|
Введя новые переменные
; 
; 
,
уравнение (9.71) запишем в виде
. (9.74)
Для двигателей независимого возбуждения можно магнитный поток с хорошей степенью точности считать постоянным: Ф = 1, и уравнение (9.74) принимает вид
. (9.75)
Если за единицу угла поворота взять угол, проходимый за время t = T м при частоте вращения, равной номинальной, то в относительных единицах угол поворота α будет выражаться интегралом
. (9.76)
Отметим, что если электропривод осуществляет не поворот, а поступательное перемещение исполнительного механизма, то, приняв за единицу перемещение механизма за время 
при частоте вращения двигателя, равной номинальной, получим, что пройденный путь будет выражаться тем же интегралом (9.76). Таким образом, 
может быть либо путем перемещения, либо углом поворота – в обоих случаях в безразмерных относительных единицах.
За единицу потерь в обмотке якоря примем потери за время 
при токе равном номинальному 
. Тогда в относительных единицах потери в якоре будут выражаться интегралом
. (9.77)
