Несинусоидальные э.д.с., напряжения и токи

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ Э.Д.С., НАПРЯЖЕНИЯХ И ТОКАХ

При потреблении электрической энергии в большом числе практически важных случаев необходимо поддерживать синусоидальность токов, напряжений и э.д.с. Реальные э.д.с., напряжения и токи, оставаясь периодическими функциями времени, в той или иной мере отличаются от синусоидальных. Основными причинами этого являются:

· несовершенство конструкций генераторов и другого оборудования электрических станций,

· наличие нагрузок (потребителей энергии), эквивалентные параметры которых зависят от приложенных к ним напряжений и протекающих по ним токов, то есть нелинейных нагрузок.

Указанные причины приводят к изменению формы кривых тока и напряжения. Кроме того, в цепи могут действовать источники, генерирующие периодические последовательности импульсов различной формы. Такие задачи являются характерными при анализе процессов в электронных цепях.

Несинусоидальные э.д.с., напряжения и токи

Периодические напряжения, токи и э.д.с. можно представить в виде рядов Фурье, которые в общем случае содержат постоянную составляющую, основную (первую) гармонику, имеющую период, равный периоду самой функции, и высшие гармоники, частота которых в целое число раз больше частоты первой гармоники.

Например, для периодической э.д.с. можем записать

Здесь: - постоянная составляющая э.д.с.; - основная (первая гармоника); - высшая гармоника порядка ( -ая гармоника), - амплитуда и - начальная фаза -ой гармоники.

Заметим, что разложение в ряд Фурье возможно для функций, удовлетворяющих условиям Дирихле, которым всегда подчиняются э.д.с., напряжения и токи в реальных электрических цепях.

Представив члены ряда Фурье через синусы и косинусы без начальных фаз

можно записать ряд Фурье в виде:

Константа и коэффициенты и определяются соотношениями:

Располагая величинами и , нетрудно определить амплитуду и начальную фазу -ой гармоники:

Аналогично можно разложить в ряд Фурье периодические несинусоидальные токи и напряжения.

Амплитуды и начальные фазы в зависимости от аргумента можно рассматривать как дискретные спектры функции . Дискретные спектры удобно представлять в виде графиков. Для дискретных значений частот , ,..., ,... параллельно оси ординат откладываются отрезки, длины которых пропорциональны амплитудам и начальным фазам гармоник. При этом , а может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Зависимости указанного вида носят название соответственно дискретных амплитудо-частотной и фазо-частотной характеристик.

При наличии того или иного вида симметрии в кривых тока, напряжения, э.д.с. некоторые коэффициенты разложения в ряд Фурье обращаются в нуль.

Значительное число непериодических функций времени, встречающихся в практической электротехнике, удовлетворяют условию .

Функции, удовлетворяющие этому условию, называются симметричными относительно оси абсцисс. Они представляются рядом Фурье, не содержащим постоянной составляющей и четных гармоник

Функции, удовлетворяющие условию , то есть четные функции, симметричны относительно оси ординат.

При этом , и разложение в ряд Фурье имеет вид

Если кривая симметрична относительно начала координат, т.е. , имеем нечетную функцию.

В этом случае

, и ряд Фурье запишется в виде

Отметим, что условие симметрии относительно оси абсцисс не зависит от выбора начала отсчета времени, т.е. является свойством самих кривых, тогда как остальные рассмотренные виды симметрии связаны с выбором начала отсчета времени.

Рассмотрим пример разложения периодической несинусоидальной функции, представляющей собой последовательность прямоугольных импульсов, в ряд Фурье.

Коэффициенты разложения рассчитаем по приведенным выше формулам:

Учитывая, что , получим

откуда при четных значениях коэффициент , а при нечетных .

Аналогично для коэффициентов получим

В результате можем записать

В общем случае разложение в ряд Фурье содержит бесконечное число членов, но в инженерных расчетах учитывается конечное число членов ряда.

Ограничившись в рассматриваемом примере тремя членами ряда, изобразим на рисунке сумму постоянной составляющей, первой и третьей гармоник, а также дискретную амплитудо-частотную характеристику функции .