Краткая теория. Дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

Дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

ay'' + by' + cy = f(x), (12.43)

где a, b, c - постоянные, f(x)- функция от х.

Если f(x)= 0, то уравнение (12.43) называется однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами или уравнением без правой части:

ay'' + by' + cy = 0. (12.44)

Уравнение (12.44) можно привести к виду

y'' + py' + qy = 0. (12.45)

Уравнение k² + pk + q = 0 (12.46)

называется характеристическим уравнением для уравнения (12.45).

В зависимости от корней k₁ и k₂ характеристического уравнения (12.46) получаем общее решение уравнения (12.45) в виде

(12.47)

если k₁ и k₂ - различные действительные числа;

(12.48)

если k₁ = k₂;

y=e^{α x}(C₁cosβ x+C₂sinβ x), (12.49)

если k₁ = α+ iβ, k₂ = α-iβ - комплексные числа.

1. Найти общее решение уравнения y'' - 5y' + 6y = 0 и выделить частное решение, удовлетворяющее начальным условием: y =1, y' = 2 при x=0.

Характеристическое уравнение (12.46) для данного уравнения принимает вид

k² - 5k + 6 = 0.

Так как это уравнение имеет различные действительные корни k₁ = 2, k₂ = 3, то в соответствии с формулой (12.47) общее решение данного дифференциального уравнения таково:

y = C₁e^2x + C₂e^3x.

Чтобы найти искомое частное решение, подставим начальные данные в выражения для y и у', где

y' = 2C₁e^2x + 3C₂e^3x.

Подстановка этих данных приводит к системе уравнений:

откуда определяются значения произвольных постоянных: C₁ = 1, C₂ = 0.

Следовательно, искомое частное решение определяется формулой

y = e^2x.

2. Проинтегрировать уравнение y'' + 4y'+ 4y = 0.

Характеристическое уравнение k₂ + 4k + 4 = 0 имеет равные корни k₁ = k₂ = - 2.

В соответствии с формулой (12.48) получаем общее решение исходного дифференциального уравнения

y = e^-2x(C₁ + C₂x).

3. Проинтегрировать уравнение y'' + y' + y = 0.

Характеристическое уравнение k² + k + 1 = 0

имеет комплексные корни

В соответствии с формулой (12.49) находим общее решение

Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

12.59.

12.61.

12.63.

12.65.

12.67. 12.58.

12.60.

12.62.

12.64.

12.66.

12.68.